Измерение по этой шкале расчленяет всю совокупность измеренных признаков на такие множества, которые связаны между собой отношениями типа «больше - меньше», «выше - ниже», «сильнее - слабее» и т.п Если в предыдущей шкале было несущественно, в каком порядке располагаются измеренные признаки, то в порядковой (ранговой) шкале все признаки располагаются по рангу - от самого большего (высокого, сильного, умного и т.п.) до самого маленького (низкого, слабого, глупого и т.п.) или наоборот.
Типичный и очень хорошо известный всем пример порядковой шкалы - это школьные оценки: от 5 до 1 балла. Еще пример - судейство в некоторых видах спорта или зрелищных программах, которые также представляют собой вариант ранжирования.
В порядковой (ранговой) шкале должно быть не меньше трех классов (групп).
При кодировании порядковых переменных им можно приписывать любые цифры (коды), но в этих кодах (цифрах) обязательно должен сохраняться порядок, или, иначе говоря, каждая последующая цифра должна быть больше (или меньше) предыдущей.
Как и номинальной шкале возможен подсчет количеств в группах в целых числах или в долях от общего числа, выраженных в числах или процентах. И снова нельзя вычислять средние значения. В случае школьной оценки это становится очевидным, если задуматься над смыслом 3-2 и 5-4. Ясно, что оценки 1,2,3,4,5 не числа а обозначения признака числами в порядковой шкале и вышеприведенные разности не имеют смысла. Установление порядка позволяет применять для таких измерений ранжиравание и все методы вычислений с применением рангов.
Шкала интервалов
В шкале интервалов, или интервальной шкале, каждое из возможных значений измеренных величин отстоит от ближайшего на равном расстоянии. Главное понятие этой шкалы - интервал, который можно определить как долю или часть измеряемого свойства между двумя соседними позициями на шкале. Размер интервала - величина фиксированная и постоянная на всех участках шкалы. Для измерения посредством шкалы интервалов устанавливаются специальные единицы измерения; в психологии стены и стенайны. При работе с этой шкалой измеряемому свойству или предмету присваивается число, равное количеству единиц измерения, эквивалентное количеству имеющегося свойства.
Важной особенностью шкалы интервалов является то, что у неё нет естественной точки отсчета (нуль условен и не указывает на отсутствие измеряемого свойства.
Только измерение по строго стандартизированной тестовой методике, при условии того, что распределение значений в репрезентативной выборке достаточно близко к нормальному, может считаться измерением в интервальной шкале. Примером последнего могут служить стандартизованные тесты интеллекта, где условная единица измерения IQ эквивалентна как при низких, так и при высоких значениях интеллекта.
Принципиально важным является и то, что к экспериментальным данным, полученным в этой шкале, применимо достаточно большое число статистических методов.
Шкала отношений
Шкалу отношений называют также шкалой равных отношений. Особенностью этой шкалы является наличие твердо фиксированного нуля, который означает полное отсутствие какого-либо свойства или признака. Шакала отношений является наиболее информативной шкалой допускающей любые математические операции и использование разнообразных статистических методов.
Шкала отношений по сути очень близка интервальной, поскольку если строго фиксировать начало отсчета, то любая интервальная шкала превращается в шкалу отношений.
Именно в шкале отношений производятся точные и сверхточные измерения в таких науках, как физика, химия, микробиология и др. Измерение по шкале отношений производятся и в близких к психологии науках, таких, как психофизика, психофизиология, психогенетика.
Квалиметрия
- область науки, предметом которой являются количественные методы оценки качества продукции.
Объект квалиметрии – качество предметов и явлений реального мира, т.е. продукции, процессов производства, услуг и иных видов деятельности людей, процессов социальной жизни отдельных членов общества и их групп и т.д.
Квалиметрия как самостоятельная наука об оценивании качества любых объектов сформировалась в конце 60-х годов 20 века. Название предложено Г.Г.Азгальдовым. Решение об обобщении существующих различных методов количественных оценок качества различных объектов было принято в ноябре 1967 года в Москве группой советских ученых и инженеров, работавших в разных областях.
В структуру квалиметрии входят:
1) общая квалиметрия (общая теория квалиметрии) – методы оценки и измерения качества;
2) специальные квалиметрии больших группировок объектов, например, квалиметрия продукции, процессов, услуг, среды обитания и т.д.;
3) предметные квалиметрии отдельных видов продукции, процессов и услуг (квалиметрия нефтепродуктов, труда, образования, тканей и т.д.).
Принципы квалиметрии:
1. Квалиметрия должна давать практике хозяйственной деятельности людей (т.е. экономике) общественно полезные методы достоверной квалифицированной и количественной оценки качества различных объектов исследования.
Интересы производителей и потребителей расходятся, поэтому квалиметрия должна давать методы оценки качества, учитывающие интересы обеих сторон.
2. Приоритет в выборе определяющих показателей всегда на стороне потребителей.
3. Оценка качества продукции не может быть получена без наличия эталона для сравнения (базовых показателей).
4. Показатель любого обобщения, кроме самого нижнего (исходного), предопределяется соответствующими показателями предшествующего иерархического уровня.
Низший уровень – единичные показатели простейших свойств. Высший – интегральный показатель.
5. При использовании метода комплексной оценки качества продукции все разноразмерные показатели свойств должны быть преобразованы и приведены к одной размерности или выражены в безразмерных единицах измерения.
6. При определении комплексного показателя качества каждый показатель отдельного свойства должен быть скорректирован коэффициентом его весомости.
7. Сумма численных значений коэффициентов весомостей всех показателей качества на любых иерархических ступенях оценки имеет одинаковое значение.
8. Качество целого объекта обусловлено качеством его составных частей.
9. При количественной оценке качества, особенно по комплексному показателю, недопустимо использование взаимообусловленных и, следовательно, дублирующих показателей одного и того же свойства.
10. Обычно оценивается качество продукции, которая способна выполнять полезные функции в соответствии с ее назначением.
Квалиметрические шкалы
Любое измерение или количественное оценивание чего-либо проводится с помощью шкал.
Шкала – это упорядоченный ряд отметок, соответствующий соотношению последовательных значений измеряемых величин.
В квалиметрии шкала измерений является средством адекватного сопоставления и определения численных значений отдельных свойств и качеств отдельных объектов.
Все шкалы измерения делят на две группы - шкалы качественных признаков и шкалы количественных признаков.
Виды шкал
Шкала наименований (номинальная, эквивалентности, классификационная) – предназначены для различения объектов.
Измерение заключается только в определении равенства или отличия объекта от заранее заданного
В этой шкале числа используются лишь как метки, только для различения объектов.
В шкале наименований измерены, например, номера телефонов, автомашин, паспортов, студенческих билетов, номера страховых свидетельств государственного пенсионного страхования, медицинского страхования, ИНН (индивидуальный номер налогоплательщика). Пол людей тоже измерен в шкале наименований, результат измерения принимает два значения - мужской, женский. Раса, национальность, цвет глаз, волос - номинальные признаки. Номера букв в алфавите - тоже измерения в шкале наименований. Нельзя складывать или умножать номера телефонов, такие операции не имеют смысла. Нельзя сравнивать буквы и говорить, например, что буква П лучше буквы С, также никто не будет. Единственное, для чего годятся измерения в шкале наименований - это различать объекты. Например, шкафчики в раздевалках для взрослых различают по номерам, т.е. числам, а в детских садах используют рисунки, поскольку дети еще не знают чисел.
Еще пример: разделение дефектов на виды.
Порядковая шкала (Шкала порядка ранговая шкала, шкала рангов)
– это такой метод оценивания, при котором объекты оценивания располагаются в порядке увеличения или уменьшения значения параметра или свойств объекта, причем способ определения порядка расположения не связан с какой-либо численной характеристикой объектов. Классическим примером является оценивание твердости минералов на основе шкалы Мооса. Другим примером может служить органолептическое оценивание показателей качества продукции (вкус продукта питания, цвет ткани, различимость шрифта, соответствие моде) при помощи балльной шкалы оценок.
После оценивания качества объектов в этой шкале их можно только упорядочить в ряд, ранжированный по увеличению (или уменьшению) значения показателя качества, но при этом оказывается невозможным определить, насколько или, тем более, во сколько раз один объект по качеству отличается от другого. Например, пусть для двух объектов (А и Б) в результате оценивания их качества в какой-то количественной шкале (допус- тим, в балльной) получены следующие значения показателей их качества: КА = 60 баллов и КБ = 40 баллов. Причем заранее известно, что информативность этой шкалы не превышает возможности шкалы порядка. В этом случае было бы неправильным вычислять соотношения КА – КБ = 20 и КА/КБ = 1,5.
В шкале порядка возможны логические операции, но невозможны арифметические действия. Если значение параметра продукции, измеряемого в шкале порядка, у первого вида больше, чем у второго, а у третьего больше, чем у первого, то можно сделать вывод о том, что значение этого параметра у третьего вида больше, чем у второго.
Реальный пример измерения (но не качества, а температуры) в порядковой шкале: мать меряет ребенку температуру, прикладывая руку к его лбу. Здесь повышение температуры измеряется в шкале порядка: мать может сказать, повышена ли температура по сравнению с нормальной или нет, но не может сказать, на сколько десятых градуса (или, тем более, во сколько раз) она повышена.
С целью увеличения достоверности и объективности в шаклу порядко часто вводятся ранжированные реперные (опорные) точки, с поощью которых определяют ранг или безразмерный балл измеряемой величины. Такая шкала называется реперной шкалой порядка.
С помощью реперных шкал порядка измеряются морские волны, чувствительность фотоматериалов (фотопленок, фотопластин, фотобумаги), температура и некоторые другие величины.
Широкое применение шкалы порядка получили при измерениях в социальной сфере, в области интеллектуального труда, в искусстве и гуманитарных науках, где использование точных метрологических методов измерений затруднено или практически невозможно.
Числа используются не только для различения объектов, но и для установления порядка между объектами.
Порядковыми шкалами в географии являются - бофортова шкала ветров ("штиль", "слабый ветер", "умеренный ветер" и т.д.), шкала силы землетрясений. Очевидно, нельзя утверждать, что землетрясение в 2 балла (лампа качнулась под потолком - такое бывает и в Москве) ровно в 5 раз слабее, чем землетрясение в 10 баллов (полное разрушение всего на поверхности земли).
В медицине порядковыми шкалами являются - шкала стадий гипертонической болезни (по Мясникову), шкала степеней сердечной недостаточности (по Стражеско-Василенко-Лангу), шкала степени выраженности коронарной недостаточности (по Фогельсону), и т.д. Все эти шкалы построены по схеме: заболевание не обнаружено; первая стадия заболевания; вторая стадия; третья стадия. Иногда выделяют стадии 1а, 1б и др. Каждая стадия имеет свойственную только ей медицинскую характеристику. При описании групп инвалидности числа используются в противоположном порядке: самая тяжелая - первая группа инвалидности, затем - вторая, самая легкая - третья.
Чаще всего врачи используют классификацию, которая была рекомендована ВОЗ и Международным обществом по гипертензии (МОАГ) в 1999 году. По ВОЗ гипертоническая болезнь классифицируется в первую очередь по степени повышения АД, которых выделяют три:
1. Первая степень – мягкая (пограничная гипертензия) – характеризуется давлением от 140/90 до 159/99 мм рт. столба.
2. При второй степени гипертонии – умеренной – АГ находится в пределах от 160/100 до 179/109 мм рт. столба.
3. При третьей степени – тяжелой – давление составляет 180/110 мм рт. столба и выше.
Номера домов также измерены в порядковой шкале - они показывают, в каком порядке стоят дома вдоль улицы. Номера томов в собрании сочинений писателя или номера дел в архиве предприятия обычно связаны с хронологическим порядком их создания.
Порядковые шкалы популярны в квалиметрии при оценке качества продукции и услуг. Единица продукции оценивается как годная или не годная. При более тщательном анализе используется шкала с тремя градациями: есть значительные дефекты - присутствуют только незначительные дефекты - нет дефектов. Иногда применяют четыре градации: имеются критические дефекты (делающие невозможным использование) - есть значительные дефекты - присутствуют только незначительные дефекты - нет дефектов. Аналогичный смысл имеет сортность продукции - высший сорт, первый сорт, второй сорт.
При оценке экологических воздействий первая, наиболее обобщенная оценка - обычно порядковая, например: природная среда стабильна - природная среда угнетена (деградирует). Аналогично в эколого-медицинской шкале: нет выраженного воздействия на здоровье людей - отмечается отрицательное воздействие на здоровье.
Шкала интервалов (интервальная шкала).
Шкала интервалов – это такой метод оценивания, при котором существенной характеристикой является разность между значениями оцениваемых параметров, которая может быть выражена числом установленных в этой шкале единиц. При этом начало отсчета может быть установлено произвольно.
Дополнительно позволяет определить, насколько один объект отличается по качеству от другого (т. е. применительно к предыдущему примеру правомерно вычислять разность КА – КБ = 20 баллов, но не правомерно пытаться определить отношение КА/КБ = 1,5).
Нельзя определить, во сколько данный параметр больше или меньше другого.
По шкале интервалов измеряют величину потенциальной энергии или координату точки на прямой. В этих случаях на шкале нельзя отметить ни естественное начало отсчета, ни естественную единицу измерения. Исследователь должен сам задать точку отсчета и сам выбрать единицу измерения. Допустимыми преобразованиями в шкале интервалов являются линейные возрастающие преобразования, т.е. линейные функции.
Если требуется более жесткая привязка результатов, получаемых по шкале интервалов к определенному (произвольно выбранному или предпочтительному) размеру, то устанавливается базовый (опорный) размер – реперная точка.
Примерами шкал интервалов с одной реперной точкой являются календари летоисчислений. В христианском календаре за нулевую точку отсчета принят год рождения Христа («от рождества Христова»).
Дату сотворения мира различные авторы рассчитывают по-разному, равно как и момент рождества Христова. Так, согласно новой статистической хронологии, разработанной группой известного историка акад. РАН А.Т.Фоменко, Господь Иисус Христос родился примерно в 1054 г. по принятому ныне летоисчислению в Стамбуле (он же - Царьград, Византия, Троя, Иерусалим, Рим).
Классическим примером измерений по шкале интервалов с двумя реперными точками является измерение температур по шкале Цельсия. Здесь в качестве опорных размеров взяты температуры замерзания (таяния льда) и кипения чистой воды. Интервал между этими температурами разделен на 100 равных частей. Одна часть, принятая за единицу измерения температур, была названа градусом. Шкала Цельсия неограниченно распространяется за пределы температур 0 ± 100°С при условии, что любые значения температур измеряются единицами, равными 1/100 части интервала температур от замерзания до кипения воды.
В температурной шкале Реомюра тот же интервал (между температурами таяния и кипения) разбит на 80 интервалов, а в шкале Фаренгейта на 180 интервалов (градус Реомюра больше, а градус Фаренгейта меньше градуса Цельсия). В шкале Фаренгейта в отличие от шкал Цельсия и Реомюра установлено другое начало отсчета – оно сдвинуто на 32 градуса в отрицательную сторону.
Температурные шкалы Цельсия и Фаренгейта связаны именно такой зависимостью: 0 С = 5/9 (0 F - 32), где 0 С - температура (в градусах) по шкале Цельсия, а 0 F - температура по шкале Фаренгейта.
Шкала интервалов применяется для характеристики таких свойств продукции, которые связаны с температурными режимами, например, минимальная рабочая температура и диапазон рабочих температур криоинструмента, морозостойкость искусственной кожи, минимальная температура морозильной камеры.
Рис. Построение шкалы интервалов с нулевой отметкой
Шкала отношений – это измерительная шкала, на которой отсчитывается численное значение величины q i как математического отношения измеряемого размера Q i . к другому известному размеру, принимаемому за единицу измерений [Q ].
В квалиметрии считается, что «любое измерение по шкале отношений предполагает сравнение неизвестного размера с известным и выражение первого через второй в кратном или дольном отношении». Математическая запись измерения по шкале
отношений имеет вид:
где i = 1, 2, 3, п – это номер измеряемого размера.
Шкала отношений – это шкала интервалов, в которой определен нулевой элемент – начало отсчета, а также размер (масштаб) единицы измерений [Q ].
По шкале отношений определяются такие значения измеряемых размеров, как: равно (=), не равно (≠), больше (>), меньше (<), сумма (+), разница размеров (–), умножение (х), деление (÷).
Шкала отношений наиболее приемлема для измерений большинства показателей качества, особенно для таких численных характеристик, как геометрические размеры объектов, их плотность, сила, напряжение, частота колебаний и прочие.
Шкала отношений наиболее совершенна и допускает любые арифметические действия. Шкала отношений применима к большинству параметров, представляющих собой физические величины: размер, вес, плотность, сила, напряжение, частота и т.д.
Пример использования шкалы отношений - измерение температуры в шкале Кельвина.
В шкалах отношений есть естественное начало отсчета - нуль, т.е. отсутствие величины, но нет естественной единицы измерения. По шкале отношений измерены большинство физических единиц: масса тела, длина, заряд, а также цены в экономике.
Шкала абсолютных величин . Во многих случаях напрямую измеряется величина чего-либо. Например, непосредственно подсчитывается число дефектов в изделии, количество единиц произведенной продукции, сколько студентов присутствует на
лекции, количество прожитых лет и т.д. и т.п. При таких измерениях на измерительной шкале отмечаются абсолютные количественные значения измеряемого. Такая шкала абсолютных значений обладает и теми же свойствами, что и шкала отношений,
с той лишь разницей, что величины, обозначенные на этой шкале, имеют абсолютные, а не относительные значения.
В процессе развития соответствующей области знания тип шкалы может меняться. Так, сначала температура измерялась по порядковой шкале (холоднее - теплее). Затем - по интервальной (шкалы Цельсия, Фаренгейта, Реомюра). Наконец, после открытия абсолютного нуля температуру можно считать измеренной по шкале отношений (шкала Кельвина). Надо отметить, что среди специалистов иногда имеются разногласия по поводу того, по каким шкалам следует считать измеренными те или иные реальные величины. Другими словами, процесс измерения включает в себя и определение типа шкалы (вместе с обоснованием выбора определенного типа шкалы). Кроме перечисленных шести основных типов шкал, иногда используют и иные шкалы.
Измерительные шкалы, основанные на использовании рядов предпочтительных чисел, обычно являются метрическими шкалами интервалов или абсолютных величин, исчисляемых, например, единицами допусков измеряемых линейных размеров или квалитетами.
Предпочтительными называют числа, наиболее часто используемые в технике, в технологии, в науке и в других сферах деятельности людей. Предпочтительные числа представляют собой определенное множество взаимосвязанных чисел (ряд чисел), которые обладают систематизирующим свойством, что позволяет использовать их при выборе, назначении и измерении размеров различных величин. Чаще всего математические выражения изменяющихся состояний имеют вид простой арифметической (линейной) или геометрической (нелинейной) прогрессии.
Так как везде принята десятичная система счета чисел, начиная с единицы, то наиболее удобными являются геометрические прогрессии, включающие число 1 и имеющие
с n, кратным 10. Международная организация по стандартизации (ISO)
В отдельных обоснованных случаях допускается использование рядов более высокого порядка.
Ряды предпочтительных чисел используются для установления унифицированных размеров сверл, фрез, разверток, зенкеров и других инструментов, а также размеров и допусков (отклонений) деталей машин, изделий в целом, технических параметров (свойств) продукции, процента дефектности в партиях продукции, величин напряжений электрического тока, номинальных значений длин электромагнитных волн радиовеща-тельных диапазонов и т.д.
Поэтому не случайно числа номинальных значений радиовещательных диапазонов λ и грузоподъемности железнодорожных цистерн Р имеют сходные величины, такие как:
λ → 80 м, 63 м, 49 м, 41 м, 31 м, 25 м, 19 м, 16 м, 12 м, 10 м;
Р → 80 т, 63 т, 50 т, 40 т, 32 т, 25 т, 20 т, 16 т, 12 т, 10 т.
Предпочтительные числа геометрических прогрессий используются, в частности, в квалиметрии для установления величин коэффициентов весомости (значимости) отдельных показателей качества, при градации мер, при делении диапазона оценивая на интервалы (формирование шкал измерений) и т.д.
Известно, что номинальные линейные размеры (диаметры, длины, глубины, расстояния между осями и т.д.) изделий, их частей, отдельных деталей и соединений в соответствии с требованиями стандартов назначаются равными предпочтительным числам того или иного ряда R. Эти номинальные размеры являются базовыми, по отношению к которым назначаются допуски разрешенных отклонений. Фактические отклонения должны быть в пределах допусков, и этим оценивается точность изготовленных изделий.
Градация допусков осуществлена в виде набора классов, или степеней точности. Под степенью точности понимается совокупность допусков, соответствующих одному относительному уровню точности для определенного количества номинальных размеров. Степень точности геометрических размеров (характеризуемая величиной допуска, выраженного в микрометрах) для установленного количества номинальных размеров называется квалитетоми обозначается буквами IT –сокращение от слов ISO Tolerance (ИСО допуск).
Под квалитетом понимают совокупность допусков, характеризуемых постоянной относительной точностью для всех номинальных размеров установленного диапазона. Иначе говоря, квалитет – характеристика точности изготовления изделия (например, детали), определяющая соответствующие методы и средства обработки, а также контроля качества обработки. Единой системой допусков и посадок (ЕСДП), основанной на системе допусков ИСО, для размеров от 1 до 10 000 мм установлено 19 квалитетов.
Обозначения последовательного ряда квалитетов, в порядке возрастания допуска на номинальный размер, таково: IT01, ITO, IT1, IT2, IT3... IT17.
На сегодняшний день различают четыре основных типа шкал измерений: номинальная, порядковая, интервальная и относительная. Каждый тип шкалы обладает определенными признаками, которые рассматриваются ниже; сейчас же рассмотрим какую роль играет техника измерений в процессе классификации.
Часто при классификации исследователь не имеет возможности численно измерить исследуемый параметр. Например, отношение человека к чему-либо, степень его предпочтения и т.д. Способы измерения в данном случае отличаются от традиционных способов. Измерением в данном случае будет считаться любой способ приписывания числовых значений символам, которые отражают качественные характеристики объектов. При этом должны существовать устойчивые взаимосвязи между символами и качествами, которые они отражают. Иными словами, для осуществления кластеризации объекта с качественными характеристиками необходимо использовать приемы техники шкалирования.
В процессе использования техники шкал традиционно выделяют ряд стадий, качество выполнения которых оказывает непосредственное влияние на результат выделения кластеров. На первом этапе необходимо дать четкое определение тому, что собираются измерять. Далее следует указать, как измерение будет осуществлено на практике или что/кто конкретно подлежит измерению. После чего выбирают тип шкалы измерения, который предопределяет метод сбора информации. Любые измерения связаны с ошибками, но поскольку измерение в данном случае имеет специфику, то исследователь может самостоятельно оценить некоторые случайные отклонения исследуемого параметра и исключить его из кластера. Традиционно объекты наблюдения могут быть представлены в следующих типах шкал.
1 тип: номинальная или шкала наименований
Этот базовый и самый примитивный тип шкалы. При его использовании каждому объекту присваивается только идентификационный номер, как, например, номера игроков в спортивной команде, номера телефонов и т.д.
Операции в данной шкале:
Title="(A=~B)~,~(A~B)">
2 тип: порядковая шкала
Этот тип шкалы определяет порядок или ранг объектов наблюдения. Расстояния между объектами, которые следуют друг за другом (по убыванию или по возрастанию) не являются равными. На основании результата ранжирования нельзя сказать, что расстояние между свойствами объектов и равны расстоянию между свойствами объектов и . Часто данный тип шкалы еще называют шкалой восприятия . Например, оценка качества вина по десятибалльной шкале – наиболее понравившееся качество 10 баллов, наименее – 1 балл.
Операции в данной шкале:
Title="(A=~B)~,~(A~B)~,~(A>~B)~,~(A
3 тип: интервальная шкала
В отличие от порядковой шкалы, здесь имеет значение не только порядок следования величин, но и величина интервала между ними. Пример для данного типа шкалы: температура воды в море утром – 18 градусов, вечером – 24, т.е. вечерняя на 5 градусов выше, но нельзя сказать, что она в 1.33 раз выше.
Операции, которые можно выполнять на базе этой шкалы:
Title="(A=~B)~,~(A~B)~,~(A>~B)~,~(A
4 тип: относительная или шкала отношений
В отличие от интервальной шкалы может отражать то, во сколько один показатель больше другого. Относительная шкала имеет нулевую точку, которая характеризует отсутствие измеряемого качества. Например: цена на товар. Здесь за точку отсчета можно взять «ноль» рублей. Отметим, что на практике не часто удается привести измерения к данному типу шкалы.
Операции для данной шкалы:
Title="(A=~B)~,~(A~B)~,~(A>~B)~,~(A
Измерение по этой шкале расчленяет всю совокупность измеренных признаков на такие множества, которые связаны между собой отношениями типа “больше – меньше”, “выше – ниже”, “сильнее – слабее” и т.п. Если в предыдущей шкале было несущественно, в каком порядке располагаются измеренные признаки, то в порядковой (ранговой) шкале все признаки располагаются по рангу – от самого большего (высокого, сильного, умного и т.п.) до самого маленького (низкого, слабого, глупого и т.п.) или наоборот.
Типичный и очень хорошо известный всем пример порядковой шкалы – это школьные оценки: от 5 до 1 балла.
В порядковой (ранговой) шкале должно быть не меньше трех классов (групп): например, ответы на опросник: “да”, “не знаю”, “нет”; или – низкий, средний, высокий; и т.п., с тем расчетом, чтобы можно было расставить измеренные признаки по порядку. Чем больше число классов разбиений всей экспериментальной совокупности, тем шире возможности статистической обработки полученных данных и проверки статистических гипотез.
При кодировании порядковых переменных каждая последующая цифра должна быть больше (или меньше) предыдущей.
Интервалы в ранговой шкале не равны между собой. Числа в ранговых шкалах обозначают лишь порядок следования признаков, а операции с числами в этой шкале – это операции с рангами.
1.3.1. Правила ранжирования
Например, в результате экспресс диагностики невроза у пяти испытуемых по методике К. Хека и X. Хесса были получены следующие баллы: 24, 25, 37, 13, 12 – этому ряду чисел можно проставить ранги двумя способами:
1. Большему числу в ряду ставится больший ранг – в этом случае получиться: 3, 4, 5, 2, 1.
2. Большему числу в ряду ставится меньший ранг – в этом случае получится: 3, 2, 1, 4, 5.
1.3.2. Проверка правильности ранжирования
Процедура ранжирования достаточно проста, однако ошибки могут возникнуть совершенно неожиданно. Поэтому всегда, когда проводится ранжирование, необходима проверка правильности реализации этой процедуры. В наиболее общем случае для проверки правильности ранжирования столбца (или строчки) признаков применяется следующая формула:
Если ранжируется N признаков, то сумма всех полученных рангов должна быть равна:
Сумма рангов = N (N+1) : 2 (1.1.)
где N – количество ранжируемых признаков.
Эта формула широко используется в дальнейшем, поэтому ее следует хорошо запомнить.
Совпадение итогов подсчета рангов по формуле (1.1) и по реальным результатам ранжирования экспериментальных данных является подтверждением правильности ранжирования.
В случае примера 1 число ранжируемых признаков было N = 5, поэтому сумма рангов, подсчитанная по формуле (1.1) должна равняться 5 (5+1) = 30: 2 = 15
Суммы рангов, подсчитанные по формуле (1.1) и в результате реального ранжирования, совпали, следовательно, ранжирование проведено правильно. Подобную проверку следует обязательно делать после каждого ранжирования .
1.3.3. Случай одинаковых рангов
При проведении ранжирования возникают ситуации, когда двум или большему числу качеств приписываются одинаковые ранги.
В этом случае правила ранжирования таковы:
1. Наименьшему числовому значению приписывается ранг 1.
2. Наибольшему числовому значению приписывается ранг, равный количеству ранжируемых величин.
3. В случае если несколько исходных числовых значений оказались равными, то им приписывается ранг, равный средней величине тех рангов, которые эти величины получили бы, если бы они стояли по порядку друг за другом и не были бы равны. Отметим, что под этот случай могут попасть как первые, так и последние величины исходного ряда для ранжирования.
4. Общая сумма реальных рангов должна совпадать с расчетной, определяемой по формуле (1.1).
6. При необходимости ранжирования достаточно большого числа объектов их следует объединять по какому-либо признаку в достаточно однородные классы (группы), а затем уже ранжировать полученные классы (группы).
Пример 1.2.
Психолог получил у 11 испытуемых следующие значения показателя невербального интеллекта: 113, 107, 123, 122, 117, 117, 106, 108, 114, 102, 104.
Лучше всего это сделать в таблице.
Таблица 1.1.
Проверим правильность ранжирования по формуле (1.1): подставляем исходные значения в формулу, получаем: 11 12 : 2 = 66.
Суммируем реальные ранги, получаем:
6 + 4 + 11 + 10 + 8,5 + 8,5 + 3 + 5 + 7 + 1 + 2 = 66.
Поскольку суммы совпали, следовательно, ранжирование проведено правильно.
В ранговой шкале применяется множество разнообразных статистических методов: коэффициенты корреляции Спирмена и Кэндалла, используют разнообразные критерии различий.
Порядковая шкала (ordinal scale) - это ранговая шкала, в которой числа присваиваются объектам для обозначения относительной степени, в которой определенные характеристики присущи тому или иному объекту. Она позволяет узнать, в какой мере выражена конкретная характеристика данного объекта, но не дает представления о степени ее выраженности. Таким образом, порядковая шкала отображает относительную позицию, но не значительность разницы между объектами. Объект, находящийся по рангу на первом месте, имеет более сильно выраженную характеристику по сравнению с тем, что находится на втором месте, но при этом неизвестно, насколько значительно различие между ними. Примерами порядковых шкал являются качественные ранги, ранги команд в турнирах, социально-экономические классы и профессиональный статус. В маркетинговых исследованиях порядковые шкалы используются для измерения отношения, мнения, восприятия и предпочтения. Измерительные инструменты подобного типа включают такие суждения респондентов, как "более чем" или "менее чем".
В порядковой шкале, как и в номинальной, эквивалентные объекты имеют одинаковый ранг. Объектам могут присваиваться значения любого ряда чисел, при условии сохранения характера взаимосвязей между ними. Например, порядковые шкалы можно трансформировать любым способом, если при этом сохраняется первоначальный порядок расположения.
Другими словами, допустимо любое монотонное положительное (сохраняющее порядок) преобразование шкал, так как, кроме порядка расположения, другие свойства чисел полученного ряда значения не имеют (ниже приведен пример).
По этим причинам, кроме использования операций подсчета, допустимых для данных номинальной шкалы, для порядковых шкал можно использовать статистические методы, базирующиеся на процентилях. В данном случае имеют смысл расчеты процентилей, квартилей, медианы, ранговой корреляции или других сводных показателей порядковыхданных.
Интервальная шкала
При использовании интервальной шкалы (interval scale) количественно равные промежутки шкалы отображают равные значения измеряемых характеристик. Интервальная шкала не только содержит всю информацию, заложенную в порядковую, но также позволяет сравнивать различия между объектами. Разница между двумя значениями шкалы идентична разнице между двумя любыми другими смежными значениями интервальной шкалы. Между значениями интервальной шкалы существует постоянный или равный интервал. Разница между 1 и 2 та же, что и между 2 и 3, что соответствует также разнице между 5 и 6. Общеизвестным примером из повседневной жизни является шкала температуры. В маркетинговых исследованиях данные об отношениях покупателей, полученные по рейтинговым шкалам, часто обрабатываются как интервальные.
В интервальной шкале расположение точки начала отсчета не фиксируется. Точка начала отсчета и единицы измерения выбираются произвольно. Следовательно, любое позитивное линейное преобразование формы у = а + Ьх сохранит свойства шкалы. Здесь х - первоначальное значение шкалы, у - преобразованное значение шкалы, b - положительная константа. Таким образом, две интервальные шкалы, оценивающие объекты Л. В, С числами I. 2, 3 и 4 или 22, 24, 26 и 28, эквивалентны. Заметьте, что вторую шкалу можно получить из первой при преобразовании с а = 20 и b = 2. Поскольку точка начала отсчета не фиксирована, отношение значений шкалы не имеет смысла. Из приведенного выше примера видно, что при преобразовании соотношение значений В и D изменяется от 2:1 до 7:6. Тем не менее допускается использование отношений разниц между двумя значениями. При этом константы а и b в расчет не принимаются. Отношение разницы между D и В к разнице между С и В равно 2:1 и одинаково для обеих шкал.
Относительная шкала
Относительная шкала (ratio scale) обладает всеми свойствами номинальной, порядковой и интервальной шкал и, кроме того, имеет точку начала отсчета. Таким образом, с помощью относительных шкал мы можем определять и классифицировать объекты, ранжировать их, сравнивать интервалы и разницы Также имеет смысл расчет коэффициентов значений шкал и не только равенство разности между 2 и 5 и разности между 14 и 17, но и то, что 14 больше 2 в семь раз. Общеизвестные примеры относительной шкалы: рост, вес, возраст и деньги. В маркетинге с помощью относительной шкалы измеряются объемы продаж, затраты, доля рынка и число покупателей.
Относительные шкалы допускают только пропорциональные преобразования формы у = Ьх, где b - положительная константа. Нельзя добавить еще одну константу, как это делалось для интервальных величин. Примером трансформации может быть преобразование ярдов в футы (Ь = 3). Результаты сравнения объекта как в ярдах, так и в футах идентичны.
Рассмотренные выше четыре основных вида шкал не исчерпывают всех существующих вариантов методов измерения. Возможно построение номинальной шкалы, которая давала бы частичную информацию о порядке (частично порядковая шкала). Более того, порядковая шкала может отображать частичную информацию о расстоянии, как в случае упорядоченной метрической шкалы. Но рассмотрение этих шкал выходит за рамки данной книги.