Может ли кинетическая энергия тела оставаться неизменной. Механическая энергия

В механике энергия системы тел определяется положением тел и их скоростями. Сначала найдем, как энергия тел зависит от их скоростей.

Вычислим работу силы , действующей на тело (материальную точку) массой m, в простом случае, когда тело движется прямолинейно, сила постоянна и ее направление совпадает с направлением скорости.

При перемещении тела на Δ его скорость меняется от значения 1 до значения 2 . Выберем координатную ось X так, чтобы векторы , 1 , 2 и Δ были сонаправлены, с этой осью (рис. 6.8). Тогда работа силы

Рис. 6.8

Согласно кинематической формуле (1.20.8) перемещение тела при движении с постоянным ускорением равно

В нашем случае v 1 = v 2 , v 0x = v 1 , a x = a.

Поэтому выражение для работы (6.5.1) примет вид

Согласно второму закону Ньютона = m. Следовательно,

Величину, равную половине произведения массы тела на адрат его скорости, называют кинетической(1) энергией.

Обозначим кинетическую энергию через E k:

Любое движущееся тело обладает энергией, пропорциональной его массе и квадрату скорости.

Учитывая определение кинетической энергии (6.5.4), выражение (6.5.3) для работы можно переписать так:

Равенство (6.5.5) выражает теорему об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела (точнее, материальной точки) за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной за это время силой, действующей на тело.

Кинетическая энергия увеличивается, если работа положительна, и уменьшается при отрицательной работе.

Можно доказать, что теорема (6.5.5) справедлива и в тех случаях, когда на тело действует переменная сила и оно движется по криволинейной траектории.

Кинетическая энергия выражается в тех же единицах, что и работа, т. е. в джоулях.

Так как кинетическая энергия отдельного тела определяется его массой и скоростью, то она не зависит от того, взаимодействует ли это тело с другими телами или нет. Значение кинетической энергии зависит от системы отсчета, как и значение скорости. Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий отдельных тел, входящих в эту систему.

Существенно, что при доказательстве теоремы об изменении кинетической энергии мы использовали лишь определение работы и второй закон Ньютона. Никаких предположений о характере сил взаимодействия между телами не было сделано. Это могли быть силы тяготения, силы упругости или силы трения.

Движущееся тело обладает кинетической энергией. Эта энергия равна работе, которую надо совершить, чтобы увеличить скорость тела от нуля до значения v.

(1) От греческого слова kinema - движение.

Закон сохранения энергии .

Приращение потенциальной энергий брошенного вверх

тела происходит за счет убыли его кинетической энергии;

при падении тела, приращение кинетической энергии

происходит за счет убыли потенциальной энергии, так что

полная механическая энергия тела не меняется1.

Аналогично, если на тело действует сжатая пружина, то

она может сообщить телу некоторую скорость, т. е.

кинетическую энергию, но при этом пружина будет

распрямляться и ее потенциальная энергия сбудет

соответственно уменьшаться; сумма потенциальной и

кинетической энергий останется постоянной. Если на тело,

кроме пружины, действует еще и сила тяжести, то хотя при

движении тела энергия каждого вида будет изменяться, но

сумма потенциальной энергии тяготения, потенциальной

энергии пружины и кинетической энергии тела опять-таки

будет оставаться постоянной.

Энергия может переходить из одного вида в другой,

может переходить от одного тела к другому, но общий

1 Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. Том 1. М.;1995 2 Бутиков Е.И. Физика для поступающих в вузы. 1982г.

запас механической энергии остаётся неизменным. Опыты

и теоретические расчеты показывают, что при отсутствии

сил трения и при воздействии только сил упругости и тяго

тения суммарная потенциальная и кинетическая энергия

тела или системы тел остается во всех случаях постоянной

В этом и заключается закон сохранения механической

Проиллюстрируем закон сохранения энергии на

следующем опыте. Стальной шарик, упавший с некоторой

высоты на стальную или стеклянную плиту и ударившийся

об неё, подскакивает почти на ту же высоту, с которой

упал. Во время движения шарика происходит целый ряд

превращений энергии. При падении потенциальная энергия

переходит в кинетическую энергию шарика. Когда шарик

прикоснется к плите, и он и плита начинают

деформироваться. Кинетическая энергия превращается в

потенциальную энергию упругой деформации шарика и

плиты, причем этот процесс продолжается до тех пор, пока

шарик не остановится, т. е. пока вся его кинетическая

энергия не переедет в потенциальную энергию упругой

деформации. Затем под действием сил упругости

деформированной плиты шарик приобретает скорость,

направленную вверх: энергия упругой деформации плиты

и шарика прекращается в, кинетическую энергию шарика.

При дальнейшем движении вверх скорость шарика под

действием силы тяжести уменьшается и кинетическая

энергия превращается в потенциальную энергию

тяготения, В наивысшей точке шарик обладает снова

только потенциальной энергией тяготения.

высоту, с которой он начал падать, потенциальная энергия

шарика в начале и в конце описанного процесса одна и та

же. Более, того, в любой момент времени при всех

превращениях энергии сумма потенциальной энергии

тяготения, потенциальной энергии упругой деформации, и

кинетической энергии все время остается одной и той же.

Для процесса превращения потенциальной энергии,

обусловленной силой тяжести, в кинетическую и обратно

при падении и подъеме шарика это было показано простым

расчетом. Можно было бы убедиться, что и при

превращении кинетической энергии в потенциальную

энергию упругой деформации плиты и шарика и затем при

обратном процессе превращения этой энергии в

кинетическую энергию отскакивающего шарика сумма

потенциальной энергии тяготения, энергии упругой

деформации и кинетической энергии также остается

неизменной, т. е. закон сохранения механической энергии

выполнен.

Теперь мы можем объяснить, почему нарушался закон

сохранения работы в простой машине, которая

деформировалась при передаче работы: дело в том, что

работа, затраченная на одном конце машины, частично или

полностью затрачивалась на деформацию самой простой

машины (рычага, веревки и т.д.), создавая в ней некоторую

потенциальную энергию деформации, и лишь остаток

работы передавался на другой конец машины. В сумме же

переданная работа вместе с энергией деформации

оказывается равной затраченной работе. В случае абсолют

ной жесткости рычага, нерастяжимости веревки и

т. д. простая машина не может накопить в себе энергию, и

вся работа, произведенная на одном ее конце, полностью

передается на другой конец.

Силы трения и закон сохранения, механической

энергии . Присматриваясь к движению шарика,

подпрыгивающего на плите, можно обнаружить, что после

каждого удара шарик поднимается на несколько меньшую

высоту, чем раньше, т. е. полная энергия не остается в

точности постоянной, а понемногу убывает; это значит, что

закон сохранения энергии в таком виде, как мы его

сформулировали, соблюдается в этом случае только

приближённо.2 Причина заключается в том что в этом опы

те возникают силы трения; сопротивление воздуха, в котор

ом движется шарик, и внутреннее трение в самом

материале шарика и плиты. Вообще, при наличии трения

сохранения механической энергии всегда нарушается и

полная энергия тел уменьшается. За счет этой убыли

энергии и совершается работа против, сил трения. Наприм

ер, при падении тела с большой высоты скорость,

вследствие действия возрастающих сил сопротивления

среды, вскоре становится постоянной; кинетическая

энергия тела перестает меняться, но его потенциальная

энергия уменьшается. Работу против силы сопротивления

воздуха совершает сила тяжести за счет потенциальной,

энергии тела. Хотя при этом и сообщается некоторая кине

тическая энергия окружающему воздуху, но она меньше,

чем убыль потенциальной энергии тела, и, значит, суммарн

ая механическая энергия убывает.

Работа против сил трения может совершаться и за счет

кинетической энергии. Например, при движении лодки,-

которую оттолкнули от берега пруда, потенциальная сверг

ая лодки остается постоянной, но вследствие сопротивл

ения воды уменьшается скорость движения лодки, т.е. ее

кинетическая энергия, я приращение кинетической энергии

воды, наблюдающееся при этом, меньше, чем убыль

кинетической энергии лодки.

Подобно этому действуют и силы трения между твер

дыми телами. Например, скорость, которую приобретает

груз, соскальзывающий с наклонной плоскости, а

следовательно и его кинетическая энергия, меньше той,

которую он приобрел быв отсутствие трения. Можно так

подобрать угол наклона плоскости, что груз будет

скользить равномерно. При этом его потенциальная

энергия будет убывать, а Кинетическая - оставаться

постоянной, и работа против сил трения будет совершаться

за счет потенциальной энергии.

В природе все движения (за исключением движений в

вакууме, например движений небесных тел) соп

ровождаются трением. Поэтому при таких движениях закон

сохранения механической энергии нарушается, и это

нарушение происходит всегда в одну сторону - в сторону

уменьшения полной энергии.

Превращение механической энергии во

внутреннюю энергию . Особенность сил трения состоит,

как мы видели, в том, что работа, совершённая против сил

трения, не переходит полностью в кинетическую или

потенциальную энергию тел; вследствие этого суммарная

механическая энергия тел уменьшается. Однако работа

против сил трения не исчезает бесследно. Прежде всего, д

вижение тел при наличия трения ведет к их нагреванию.

Мы можем легко обнаружить это, крепко потирая руки или

протягивая металлическую полоску между сжинающими ее

двумя кусками дерева; полоска даже на ощупь заметно

нагревается. Первобытные люди, как известно, добывали

огонь быстрым трением сухих кусков дерева друг о друга.

Нагревание происходит также при совершении работы

против сил. внутреннего трения, например при

многократном изгибании проволоки. Нагревание при

движении, связанном с преодолением сил трения, часто

бывает очень сильным. Например, при торможении поезда

тормозные колодки сильно нагреваются. При спуске

корабля со стапелей на воду для уменьшения трения

стапеля обильно смазываются, и все же нагревание так вел

ико, что смазка дымится, а иногда даже загорается.

При движении тел в воздухе с небольшими скоростями,

например при движении брошенного камня, сопротивление

воздуха невелико, на преодоление сил трения

затрачивается небольшая работа, и камень практически не

нагревается. Но быстро летящая пуля разогревается

значительно сильнее. При больших скоростях реактивных

самолетов приходится уже принимать специальные меры

для уменьшения нагревания обшивки самолета. Мелкие

метеориты, влетающие с огромными скоростями (десятки

километров в секунду) в атмосферу Земли, испытывают

такую большую силу сопротивления среды, что полностью

сгорают в атмосфере. Нагревание в атмосфере искусстве

нного спутника Земли, возвращающегося на Землю, так

велико, что на нем приходится устанавливать специальную

тепловую защиту.

Кроме нагревания, трущиеся тела могут испытывать и

другие Изменения. Например, они могут измельчаться,

растираться в пыль, может происходить плавление, т. е.

переход тел из твердого в жидкое состояние: кусок льда

может расплавиться в результате трения о другой кусок

льда или о какое-либо иное тело.

Итак, если движение тел связано с преодолением сил

трения, то оно сопровождается двумя явлениями: а) сумма

кинетической и потенциальной энергий всех участвующих

в движении тел уменьшается; б) происходит изменение

состояния тел, в частности может происходить нагревание.

Это изменение состояния тел происходит всегда таким

образом, что в новом состоянии тела могут производить

большую работу, чем в исходном. Так, например, если

налить в закрытую с одного конца металлическую трубку

немного эфира и, заткнув трубку пробкой, зажать ее между

двумя пластинками и привести в быстрое вращение, то

эфир испарится и вытолкнет пробку,. Значит, в результате

работы по преодолению сил трения трубки о пластинки

трубка с эфиром пришла в новое состояние, в котором она

смогла совершить работу, требующуюся для выталкивания

пробки, т. е. работу против сил трения, удерживающих

пробку в трубке, и работу, идущую на сообщение пробке

кинетической энергии. В исходном состоянии трубка с

эфиром не могла совершить эту работу.

Таким образом, нагревание тел, равно как и другие

изменения их состояния, сопровождается изменением

“запаса” способности этих тел совершать работу. Мы

видим, что “запас работоспособности” зависит, помимо

положения тел относительно Земли, помимо их

деформации и их скорости, еще и от состояния тел. Значит,

помимо потенциальной энергии тяготения и упругости и

кинетической энергии Тело обладает и энергией,

зависящей, от его состояния "Будем называть ее

внутренней энергией. Внутренняя энергия тела зависит от

его температуры, от того, является ли тело твердым,

жидким или газообразным, как велика его поверхность,

является ли оно сплошным или мелко раздробленным и т.

д. В частности, чем температура тела выше тем больше его

внутренняя энергия.

Таким образом, хотя при движениях, связанных с пре-

одолением сил трения, механическая энергия систем]

движущихся тел уменьшается, но зато возрастает их

внутренняя энергия. Например, при торможении поезда у

меньшение его кинетической энергии сопровождается

увеличением внутренней энергии тормозных колодок,

бандаже колес, рельсов, окружающего воздуха и т. д. в

результат нагревания этих тел.

Все сказанное относится также и к тем случаям, когда

силы трения возникают внутри тела, например при разми

нании куска воска, при неупругом ударе свинцовых шаров

при перегибании куска проволоки и т. д.

Всеобщий характер закона сохранения энергии .

Силы трения занимают особое положение в вопросе о

законе ее хранения механической энергии. Если сил трения

нет, то закон сохранения механической энергии соблюдает

ся: полная механическая энергия системы остается

постоянной Если же действуют силы трения, то энергия

уже не остается постоянной, а убывает при движении. Но

при этом всегда растет внутренняя энергия. С развитием

физики обнаруживались все новые виды энергии: была

обнаружена световая энергия, энергия электромагнитных

волн, химическая энергия проявляющаяся при химических

реакциях (в качестве ври мера достаточно указать хотя бы

на химическую энергию запасенную во взрывчатых

веществах и превращающуюся в механическую и тепловую

энергию при взрыве), наконец была открыта ядерная

энергия. Оказалось, что совершаемая над телом работа

равна приращению суммы всех видов энергии тела; работа

же, совершаемая некоторым телом на, другими телами,

равна убыли суммарной энергии данного тела. Для всех

видов энергии оказалось что возможен переход энергии из

одного вида в другой, переход энергии от одного тела к

другому, но что при всех таких перехода; общая энергия

всех видов остаемся все время строго постоянной. В этом

заключается всеобщность закона сохранения энергии.

Хотя общее количество энергии остается постоянным

количество полезной для нас энергии может уменьшаться

и в действительности постоянно уменьшается. Переход

энергии в другую форму может означать переход ее в

бесполезную для нас форму. В механике чаще всего это -

нагревание окружающей среды, трущихся поверхностей и

т п. Такие потери не только невыгодны, но и вредно отзыв

аются на самих механизмах; так, во избежание

перегревания приходится специально охлаждать трущиеся

части механизмов.

А так ли хорошо знакомы вам законы сохранения? // Квант. - 1987. - № 5. - С. 32-33.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Вещи не могут ни создаваться из ничего, ни,
однажды возникнув, вновь обращаться в ничто...
Лукреций Кар. «О природе вещей»

Развитие физики сопровождалось установлением самых разных законов сохранении, утверждающих, что в изолированных системах определенные величины не могут возникать или исчезать. Представления о том, что подобные законы существуют, возникли в глубине веков: приведенное в эпиграфе изречение Лукреция отражает еще античные взгляды. Сегодня физикам известно довольно много таких законов, часть из них знакома и вам - это законы сохранения импульса, энергии, заряда. Дальнейшее изучение физики позволит узнать, что есть весьма необычные законы сохранения, например, странности, четности и очарования. Но прежде - поработаем с теми, которые вы должны хорошо знать.

Вопросы и задачи

Может ли кинетическая энергия тела изменяться, если на тело не действуют силы?
Может ли кинетическая энергия тела оставаться неизменной, если равнодействующая приложенных к телу сил отлична от нуля?
Когда перенос электрического заряда из одной точки электрического поля в другую не сопровождается изменением энергии?
В какие виды энергии превращается при фотоэффекте энергия падающего на вещество света?
Каким образом космонавт, не связанный с кораблем, может вернуться на корабль?
Зависит ли полный импульс хорошо центрированного маховика от частоты его вращения?
В массивный однородный цилиндр, который может без трения вращаться вокруг горизонтальной оси, попадает пуля, летящая горизонтально со скоростью υ , и после удара о цилиндр падает на тележку. Зависит ли скорость тележки, которую она приобретает после удара пули, того, в какую часть цилиндра попадет пуля?
Излучая фотон, атом газа изменяет свой импульс. Почему это изменение неизбежно?
В процессе аннигиляции электрона и позитрона никогда не возникает один гамма-квант. Какой из законов сохранения проявляется в этом факте?
Металлическая пластина зарядилась под действием рентгеновских лучей. Каков знак заряда?
При аннигиляции электрона с позитроном образуются гамма-кванты; однако такого не происходит при встрече двух электронов или двух позитронов. Какой здесь сказывается закон сохранения?

Микроопыт

Пройдите от кормы неподвижной поначалу лодки к ее носовой части. Почему лодка станет двигаться в противоположную сторону?

Любопытно, что…

Часто некоторые законы сохранения оказываются справедливыми лишь при описании ограниченного круга явлений. Так, при изучении химических реакций можно считать, что масса сохраняется, однако при ядерных реакциях применение такого закона выло вы ошибочным, так как, например, масса конечных продуктов деления урана меньше массы исходного количества урана.

Если бы закон сохранения заряда не являлся вполне точным законом природы, то электрон мог бы распасться, например, на нейтрино и фотон. Поиски таких распадов, однако, не увенчались успехом и показали, что время жизни электрона по крайней мере не меньше 10 21 лет. (Возраст же Вселенной оценивается сегодня учеными в 10 10 лет.)

Именно закон сохранения заряда подсказал Дж. Максвеллу идею о возможном возникновении магнитного поля в результате изменения электрического поля. Развитие этой идеи привело Максвелла к предсказанию периодических электромагнитных процессов, распространяющихся в пространстве. Вычисленное значение скорости распространения оказалось в точности равным ранее измеренной скорости света.

Из курса физики 8 класса вы знаете, что сумма потенциальной (mgh) и кинетической (mv 2 /2) энергии тела или системы тел называется полной механической (или механической) энергией.

Вам известен также закон сохранения механической энергии:

механическая энергия замкнутой системы тел остаётся постоянной, если между телами системы действуют только силы тяготения и силы упругости и отсутствуют силы трения

Потенциальная и кинетическая энергия системы могут меняться, преобразуясь друг в друга. При уменьшении энергии одного вида на столько же увеличивается энергия другого вида, благодаря чему их сумма остаётся неизменной.

Подтвердим справедливость закона сохранения энергии теоретическим выводом. Для этого рассмотрим такой пример. Маленький стальной шарик массой m свободно падает на землю с некоторой высоты. На высоте h 1 (рис. 51) шарик имеет скорость v 1 , а при снижении до высоты h 2 его скорость возрастает до значения v 2 .

Рис. 51. Свободное падение шарика на землю с некоторой высоты

Работа действующей на шарик силы тяжести может быть выражена и через уменьшение потенциальной энергии гравитационного взаимодействия шарика с Землёй (Е п), и через увеличение кинетической энергии шарика (Е к):

Поскольку левые части уравнений равны, то равны и их правые части:

Из этого уравнения следует, что при движении шарика его потенциальная и кинетическая энергия менялась. При этом кинетическая энергия возросла на столько же, на сколько уменьшилась потенциальная.

После перестановки членов в последнем уравнении получим:

Уравнение, записанное в таком виде, свидетельствует о том, что полная механическая энергия шарика при его движении остаётся постоянной.

Оно может быть записано и так:

E п1 + E к1 = E п2 + E к2 . (2)

Уравнения (1) и (2) представляют собой математическую запись закона сохранения механической энергии.

Таким образом, мы теоретически доказали, что полная механическая энергия тела (точнее, замкнутой системы тел шарик - Земля) сохраняется, т. е. не меняется с течением времени.

Рассмотрим применение закона сохранения механической энергии для решения задач.

Пример 1 . Яблоко массой 200 г падает с дерева с высоты 3 м. Какой кинетической энергией оно будет обладать на высоте 1 м от земли?

Пример 2 . Мяч бросают вниз с высоты h 1 = 1,8 м со скоростью v 1 = 8 м/с. На какую высоту h 2 отскочит мяч после удара о землю? (Потери энергии при движении мяча и его ударе о землю не учитывайте.)

Вопросы

Что называется механической (полной механической) энергией?
Сформулируйте закон сохранения механической энергии. Запишите его в виде уравнений.
Может ли меняться с течением времени потенциальная или кинетическая энергия замкнутой системы?

Упражнение 22

Решите рассмотренную в параграфе задачу из примера 2 без использования закона сохранения механической энергии.
Оторвавшаяся от крыши сосулька падает с высоты h = 36 м от земли. Какую скорость v она будет иметь на высоте h = 31 м? (Принять g = 10 м/с 2 .)
Шарик вылетает из детского пружинного пистолета вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 5 м/с. На какую высоту от места вылета он поднимется? (Принять g = 10 м/с 2 .)

Задание

Придумайте и проведите простой опыт, наглядно демонстрирующий, что тело движется криволинейно, если скорость движения этого тела и действующая на него сила направлены вдоль пересекающихся прямых. Опишите используемое оборудование, ваши действия и наблюдаемые результаты.

Итоги главы
Самое главное

Ниже даны названия физических законов и их формулировки. Последовательность изложения формулировок законов не соответствует последовательности их названий.

Перенесите в тетрадь названия физических законов и в квадратные скобки впишите порядковый номер формулировки, соответствующей названному закону.

Первый закон Ньютона (закон инерции) ;
второй закон Ньютона ;
третий закон Ньютона ;
закон всемирного тяготения ;
закон сохранения импульса ;
закон сохранения механической энергии .

Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе.
Механическая энергия замкнутой системы тел остаётся постоянной, если между телами системы действуют только силы тяготения и силы упругости и отсутствуют силы трения.
Два любых тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной массе каждого из них и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, не меняется с течением времени при любых движениях и взаимодействиях этих тел.
Существуют такие системы отсчёта, относительно которых тела сохраняют свою скорость неизменной, если на них не действуют другие тела или действия других тел компенсируются.
Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.

Проверь себя

Выполните задания, предложенные в электронном приложении.

В примере, разобранном в предыдущем параграфе, выяснилось, что приращение потенциальной энергии брошенного вверх тела происходит за счет убыли его кинетической энергии; при падении тела приращение кинетической энергии происходит за счет убыли потенциальной энергии, так что полная механическая энергия тела не меняется. Аналогично, если на тело действует сжатая пружина, то она может сообщить телу некоторую скорость, т. е. кинетическую энергию, но при этом пружина будет распрямляться, и ее потенциальная энергия будет соответственно уменьшаться; сумма потенциальной и кинетической энергий останется постоянной. Если на тело, кроме пружины, действует еще и сила тяжести, то хотя при движении тела энергия каждого вида будет изменяться, но сумма потенциальной энергии тяготения, потенциальной энергии пружины и кинетической энергии тела опять-таки будет оставаться постоянной.

Энергия может переходить из одного вида в другой, может переходить от одного тела к другому, но общий запас механической энергии остается неизменным. Опыты и теоретические расчеты показывают, что при отсутствии сил трения и при воздействии только сил упругости и тяготения суммарная потенциальная и кинетическая энергия тела или системы тел остается во всех случаях постоянной. В этом и заключается закон сохранения механической энергии.

Рис. 168. Отразившись от стальной плиты, стальной шарик подскакивает снова на ту же высоту, с которой он был брошен.

Проиллюстрируем закон сохранения энергии на следующем опыте. Стальной шарик, упавший с некоторой высоты на стальную или стеклянную плиту и ударившийся об нее, подскакивает почти на ту же высоту, с которой упал (рис. 168). Во время движения шарика происходит целый ряд превращений энергии. При падении потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию шарика. Когда шарик прикоснется к плите, и он и плита начинают деформироваться. Кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию упругой деформации шарика и плиты, причем этот процесс продолжается до тех пор, пока вся его кинетическая энергия не перейдет в потенциальную энергию упругой деформации. Затем под действием сил упругости деформированной плиты шарик приобретает скорость, направленную вверх: энергия упругой деформации плиты и шарика превращается в кинетическую энергию шарика. При дальнейшем движении вверх скорость шарика под действием силы тяжести уменьшается, и кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию тяготения. В наивысшей точке шарик обладает снова только потенциальной энергией тяготения.

Поскольку можно считать, что шарик поднялся на ту же высоту, с которой он начал падать, потенциальная энергия шарика в начале и в конце описанного процесса одна и та же. Более того, в любой момент времени при всех превращениях энергии сумма потенциальной энергии тяготения, потенциальной энергии упругой деформации и кинетической энергии все время остается одной и той же. Для процесса превращения потенциальной энергии, обусловленной силой тяжести, в кинетическую и обратно при падении и подъеме шарика это было показано простым расчетом в § 101. Можно было бы убедиться, что и при превращении кинетической энергии в потенциальную энергию упругой деформации плиты и шарика и затем при обратном процессе превращения этой энергии в кинетическую энергию отскакивающего шарика сумма потенциальной энергии тяготения, энергии упругой деформации и кинетической энергии также остается неизменной, т. е. закон сохранения механической энергии выполнен.

Теперь мы можем объяснить, почему нарушался закон сохранения работы в простой машине, которая деформировалась при передаче работы (§ 95): дело в том, что работа, затраченная на одном конце машины, частично или полностью затрачивалась на деформацию самой простой машины (рычага, веревки и т. д.), создавая в ней некоторую потенциальную энергию деформации, и лишь остаток работы передавался на другой конец машины. В сумме же переданная работа вместе с энергией деформации оказывается равной затраченной работе. В случае абсолютной жесткости рычага, нерастяжимости веревки и т. д. простая машина не может накопить в себе энергию, и вся работа, произведенная на одном ее конце, полностью передается на другой конец.

Пользуясь двумя законами сохранения: законом сохранения импульса и законом сохранения энергии, можно решить задачу о соударении идеально упругих шаров, т. е. шаров, которые после соударения отскакивают друг от друга, сохраняя суммарную кинетическую энергию.

Пусть два шара движутся по одной прямой (по линии центров). Предположим, что, кроме сил взаимодействия при их соприкосновении, на шары не действуют никакие силы со стороны каких-либо других тел. После соударения (соударение произойдет, если шары движутся навстречу друг другу или если один из них догоняет второй) они будут двигаться по той же прямой, но с измененными скоростями. Будем считать, что нам известны массы шаров и и их скорости и до соударения. Требуется найти их скорости и после соударения.

Из закона сохранения импульса следует, что ввиду того, что на шары не действуют никакие силы, кроме сил их взаимодействия, суммарный импульс должен сохраняться, т. е. импульс до соударения должен равняться импульсу после соударения:

Скорости и направлены вдоль линии центров (в одну и ту же либо в противоположные стороны). Из соображений симметрии следует, что скорости также будут направлены вдоль линии центров. Примем эту линию за ось и спроектируем векторы, входящие в уравнение (102.1), на эту ось. В результате получим уравнение

(в данном случае и т. д.).

Из уравнений (102.2) и (102.3) можно найти неизвестные величины и . Для этого перепишем эти уравнения в виде

Деля почленно второе уравнение на первое, получим

. (102.4)

Умножив (102.4) на и вычтя из (102.2), придем к соотношению

. (102.5)

Подобным же образом, умножив (102.4) на и сложив с (102.2), найдем

Если, например, первый шар движется в направлении оси , а второй - ему навстречу, то равна модулю скорости , т. е. , а равна модулю скорости , взятому со знаком минус, т. е. . Подставив эти значения в формулы (102.5) и (102.6), получим

Если масса одного шара гораздо больше массы другого, например много больше , то в знаменателе и в числителе формулы (102.5) можно пренебречь членами, содержащими . Если, кроме того, массивный шар покоится, то получаем , т. е. шар отскакивает, как от неподвижной стенки. Действительно, как видно из (102.5), большой шар получит при этом малую скорость, равную приблизительно .