Теперь, когда определены особенности работы отдельных видов сил, вернемся к задаче о движении и свойствах систем материальных тел. Рассмотрим системы тел, в которых действуют только
консервативные силы (тяжести, упругости и всемирного тяготения). Примерами таких систем могут быть:
1) система, состоящая из Земли и тела которое поднято над ней на высоту и удерживается на этой высоте;
2) система, состоящая из груза и пружины жесткостью растянутой на величину
3) система из любого количества тел, между которыми действуют силы всемирного тяготения.
В этих системах силы тяжести, упругости и всемирного тяготения являются внутренними силами. Если телам таких систем предоставить возможность двигаться под действием внутренних сил, то эти силы будут совершать работу, которую мы рассчитали раньше.
Например, в первой системе при падении тела на Землю сила тяжести совершит работу
Во второй системе при движении груза до положения равновесия сила упругости совершит работу
В третьей системе силы всемирного тяготения при переносе одного из тел из бесконечности на заданное расстояние совершат работу
Эта возможная работа внутренний сил полностью определяется заданным расположением тел. Поэтому мы можем утверждать, что каждому заданному расположению тел системы соответствует определенный запас работы, которую могут совершить внутренние силы при освобождении тел системы. Этот запас работы можно рассматривать как новую величину, которая характеризует состояние системы тел: запас работы, которую могут совершить внутренние силы при освобождении тел системы, называется потенциальной энергией этой системы.
Отметим, что о потенциальной энергии можно говорить только тогда, когда работа внутренних сил системы не зависит от формы траектории, по которой движутся тела системы.
По определению в первом примере потенциальную энергию системы нужно считать равной
Ее часто называют потенциальной энергией тела, поднятого над поверхностью Земли.
Употребляя этот термин, нужно помнить, что речь идет о потенциальной энергии системы тело - Земля, а не о потенциальной энергии отдельно взятого тела. Эта энергия обращается в нуль при Во втором примере потенциальная энергия растянутой пружины равна
Нуль энергии соответствует положению равновесия системы.
Особо отметим, что при определении потенциальной энергии системы можно выбирать начало отсчета энергии по своему усмотрению в зависимости от условий задачи.
Рассмотрим пример. Мальчик, находящийся на балконе (рис. 5.27), держит мяч массы на высоте над перилами балкона. При этом мяч оказывается на высоте от пола балкона и на высоте от поверхности Земли. Если рассматривать падение мяча только до перил балкона, то потенциальная энергия мяча относительно уровня перил равна
При этом считается, что потенциальная энергия мяча обратится в нуль, когда он коснется перил балкона.
При падении мяча на пол балкона можно говорить о его потенциальной энергии относительно пола. Она равна
В этом случае нуль потенциальной энергии соответствует уровню пола балкона.
Точно так же при расчете падения мяча на Землю его потенциальная энергия считается равной
Потенциальная энергия в этом случае принимается равной нулю на поверхности Земли.
Итак, при решении любой задачи необходимо сначала уговориться о том, от какого уровня будет отсчитываться потенциальная энергия системы тел. Для растянутых или сжатых пружин обычно считается, что потенциальная энергия системы равна нулю, когда пружины не деформированы.
Любое тело всегда обладает энергией. При наличии движения это очевидно: есть скорость либо ускорение, что, помноженное на массу, дает искомый результат. Однако в случае, когда тело неподвижно, оно, как ни парадоксально, также может быть охарактеризовано как обладающее энергией.
Итак, возникает при движении, потенциальная - при взаимодействии нескольких тел. Если с первой все более-менее очевидно, то нередко сила, возникающая между двумя неподвижными объектами, остается за гранью понимания.
Общеизвестно, что планета Земля воздействует на все тела, находящиеся на ее поверхности за счет То есть она притягивает любой предмет с определенной силой. При перемещении предмета, изменении его высоты, происходит также изменение показателей энергии. Непосредственно в момент поднятия тело обладает ускорением. Однако в высшей своей точке, когда предмет (пусть даже на долю секунды) неподвижен, он обладает потенциальной энергией. Все дело в том, что его по-прежнему тянет к себе поле Земли, с которым искомое тело взаимодействует.
Говоря иначе, потенциальная энергия возникает всегда за счет взаимодействия нескольких предметов, образующих систему, вне зависимости от размеров самих предметов. При этом по умолчанию один из них представлен нашей планетой.
Потенциальная энергия - величина, зависящая от массы предмета и высоты, на которую он поднят. Международное обозначение - латинские буквы Ep. выглядит следующим образом:
Где m - масса, g - ускорение h - высота.
Важно рассмотреть более подробно параметр высоты, поскольку он нередко становится причиной затруднений при решении задач и понимании значения рассматриваемой величины. Дело в том, что любое вертикальное передвижение тела имеет свою начальную и конечную точку. Для корректного нахождения потенциальной энергии взаимодействия тел важно знать начальную высоту. Если она не указана, то ее значение равняется нулю, то есть совпадает с поверхностью Земли. В случае же, если известна как начальная точка отсчета, так и конечная высота, необходимо найти разницу между ними. Получившееся число и станет искомым h.
Важно также отметить, что потенциальная энергия системы может иметь отрицательное значение. Предположим, мы уже подняли тело над уровнем Земли, стало быть, оно имеет высоту, которую назовем начальной. При его опускании формула будет выглядеть таким образом:
Очевидно, что h1 больше h2, следовательно, значение будет отрицательным, что и придаст всей формуле знак минус.
Любопытно, что потенциальная энергия тем выше, чем дальше от поверхности Земли расположено тело. Для того чтобы лучше понять этот факт, задумаемся: чем выше нужно поднять тело над Землей, тем основательнее совершенная работа. Чем выше значение работы любой силы, тем, условно говоря, больше вложено энергии. Потенциальная энергия, иначе говоря, - это энергия возможности.
Подобным образом можно измерить энергию взаимодействия тел при растяжении предмета.
В рамках рассматриваемой темы необходимо отдельно обсудить взаимодействие заряженной частицы и электрического поля. В подобной системе будет наличествовать потенциальная энергия заряда. Рассмотрим этот факт подробнее. На любой заряд, находящийся в пределах электрического поля, действует одноименная сила. Перемещение частицы происходит за счет работы, производимой этой силой. Учитывая, что собственно заряд и (точнее говоря, тело, его создавшее) - это система, мы также получаем потенциальную энергию перемещения заряда в рамках заданного поля. Поскольку данный вид энергии - особый случай, ему было присвоено название электростатического.
Работа совершается в природе всегда, когда какое-либо тело в направлении его движения или против него действует сила (или несколько сил) со стороны другого тела (других тел).
Работа силы равна произведению модулей силы и перемещения точки приложения силы и на косинус угла между ними.
А= F · S ·соs , где А Дж); F – сила, (Н); S- перемещение, (м).
Энергия не создается и не уничтожается, а только превращается из одной формы в другую: из кинетической в потенциальную и наоборот. Учитывая значение Ек и Еп, закон сохранения механической
энергии можно записать так:
В состоянии 2 тело обладает кинетической энергией (так как уже развило скорость), но при этом потенциальная энергия уменьшилась, так как h 2 меньше h 1 . Часть потенциальной энергии перешло в кинетическую.
Состояние 3 — это состояние перед самой остановкой. Тело как бы только-только дотронулось до земли, при этом скорость максимальная. Тело обладает максимальной кинетической энергией. Потенциальная энергия равна нулю (тело находится на Земле).
Полные механические энергии равны между собой, если пренебрегать силой сопротивления воздуха.
Энергией называется скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения материи и мерой перехода движения материи из одних форм в другие.
Для характеристики различных форм движения материи вводятся соответствующие виды энергии, например: механическая, внутренняя, энергия электростатических, внутриядерных взаимодействий и др.
Энергия подчиняется закону сохранения, который является одним из важнейших законов природы.
Механическая энергия Е характеризует движение и взаимодействие тел и является функцией скоростей и взаимного расположения тел. Она равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
Кинетическая энергия
Рассмотрим случай, когда на тело массой m действует постоянная сила \(~\vec F\) (она может быть равнодействующей нескольких сил) и векторы силы \(~\vec F\) и перемещения \(~\vec s\) направлены вдоль одной прямой в одну сторону. В этом случае работу силы можно определить как A = F ∙s . Модуль силы по второму закону Ньютона равен F = m∙a , а модуль перемещения s при равноускоренном прямолинейном движении связан с модулями начальной υ 1 и конечной υ 2 скорости и ускорения а выражением \(~s = \frac{\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1}{2a}\) .
Отсюда для работы получаем
\(~A = F \cdot s = m \cdot a \cdot \frac{\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1}{2a} = \frac{m \cdot \upsilon^2_2}{2} - \frac{m \cdot \upsilon^2_1}{2}\) . (1)
Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела .
Кинетическая энергия обозначается буквой E k .
\(~E_k = \frac{m \cdot \upsilon^2}{2}\) . (2)
Тогда равенство (1) можно записать в таком виде:
\(~A = E_{k2} - E_{k1}\) . (3)
Теорема о кинетической энергии
работа равнодействующей сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела.
Так как изменение кинетической энергии равно работе силы (3), кинетическая энергия тела выражается в тех же единицах, что и работа, т. е. в джоулях.
Если начальная скорость движения тела массой m равна нулю и тело увеличивает свою скорость до значения υ , то работа силы равна конечному значению кинетической энергии тела:
\(~A = E_{k2} - E_{k1}= \frac{m \cdot \upsilon^2}{2} - 0 = \frac{m \cdot \upsilon^2}{2}\) . (4)
Физический смысл кинетической энергии
кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью υ, показывает, какую работу должна совершить сила, действующая на покоящееся тело, чтобы сообщить ему эту скорость.
Потенциальная энергия
Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия тел.
Потенциальная энергия поднятого над Землей тела – это энергия взаимодействия тела и Земли гравитационными силами. Потенциальная энергия упруго деформированного тела – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости.
Потенциальными называются силы , работа которых зависит только от начального и конечного положения движущейся материальной точки или тела и не зависит от формы траектории.
При замкнутой траектории работа потенциальной силы всегда равна нулю. К потенциальным силам относятся силы тяготения, силы упругости, электростатические силы и некоторые другие.
Силы , работа которых зависит от формы траектории, называются непотенциальными . При перемещении материальной точки или тела по замкнутой траектории работа непотенциальной силы не равна нулю.
Потенциальная энергия взаимодействия тела с Землей
Найдем работу, совершаемую силой тяжести F т при перемещении тела массой m вертикально вниз с высоты h 1 над поверхностью Земли до высоты h 2 (рис. 1). Если разность h 1 – h 2 пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием до центра Земли, то силу тяжести F т во время движения тела можно считать постоянной и равной mg .
Так как перемещение совпадает по направлению с вектором силы тяжести, работа силы тяжести равна
\(~A = F \cdot s = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\) . (5)
Рассмотрим теперь движение тела по наклонной плоскости. При перемещении тела вниз по наклонной плоскости (рис. 2) сила тяжести F т = m∙g совершает работу
\(~A = m \cdot g \cdot s \cdot \cos \alpha = m \cdot g \cdot h\) , (6)
где h – высота наклонной плоскости, s – модуль перемещения, равный длине наклонной плоскости.
Движение тела из точки В в точку С по любой траектории (рис. 3) можно мысленно представить состоящим из перемещений по участкам наклонных плоскостей с различными высотами h ’, h ’’ и т. д. Работа А силы тяжести на всем пути из В в С равна сумме работ на отдельных участках пути:
\(~A = m \cdot g \cdot h" + m \cdot g \cdot h"" + \ldots + m \cdot g \cdot h^n = m \cdot g \cdot (h" + h"" + \ldots + h^n) = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\) , (7)
где h 1 и h 2 – высоты от поверхности Земли, на которых расположены соответственно точки В и С .
Равенство (7) показывает, что работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению модуля силы тяжести на разность высот в начальном и конечном положениях.
При движении вниз работа силы тяжести положительна, при движении вверх – отрицательна. Работа силы тяжести на замкнутой траектории равна нулю.
Равенство (7) можно представить в таком виде:
\(~A = - (m \cdot g \cdot h_2 - m \cdot g \cdot h_1)\) . (8)
Физическую величину, равную произведению массы тела на модуль ускорения свободного падения и на высоту, на которую поднято тело над поверхностью Земли, называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли.
Работа силы тяжести при перемещении тела массой m из точки, расположенной на высоте h 2 , в точку, расположенную на высоте h 1 от поверхности Земли, по любой траектории равна изменению потенциальной энергии взаимодействия тела и Земли, взятому с противоположным знаком.
\(~A = - (E_{p2} - E_{p1})\) . (9)
Потенциальная энергия обозначается буквой Е p .
Значение потенциальной энергии тела, поднятого над Землей, зависит от выбора нулевого уровня, т. е. высоты, на которой потенциальная энергия принимается равной нулю. Обычно принимают, что потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю.
При таком выборе нулевого уровня потенциальная энергия Е p тела, находящегося на высоте h над поверхностью Земли, равна произведению массы m тела на модуль ускорения свободного падения g и расстояние h его от поверхности Земли:
\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) . (10)
Физический смысл потенциальной энергии взаимодействия тела с Землей
потенциальная энергия тела, на которое действует сила тяжести, равна работе, совершаемой силой тяжести при перемещении тела на нулевой уровень.
В отличие от кинетической энергии поступательного движения, которая может иметь лишь положительные значения, потенциальная энергия тела может быть как положительной, так и отрицательной. Тело массой m , находящееся на высоте h , где h < h 0 (h 0 – нулевая высота), обладает отрицательной потенциальной энергией:
\(~E_p = -m \cdot g \cdot h\) .
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия системы двух материальных точек с массами m и М , находящихся на расстоянии r одна от другой, равна
\(~E_p = G \cdot \frac{M \cdot m}{r}\) . (11)
где G – гравитационная постоянная, а нуль отсчета потенциальной энергии (Е p = 0) принят при r = ∞.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела массой m с Землей, где h – высота тела над поверхностью Земли, M e – масса Земли, R e – радиус Земли, а нуль отсчета потенциальной энергии выбран при h = 0.
\(~E_e = G \cdot \frac{M_e \cdot m \cdot h}{R_e \cdot (R_e +h)}\) . (12)
При том же условии выбора нуля отсчета потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела массой m с Землей для малых высот h (h « R e) равна
\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) ,
где \(~g = G \cdot \frac{M_e}{R^2_e}\) – модуль ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли.
Потенциальная энергия упруго деформированного тела
Вычислим работу, совершаемую силой упругости при изменении деформации (удлинения) пружины от некоторого начального значения x 1 до конечного значения x 2 (рис. 4, б, в).
Сила упругости изменяется в процессе деформации пружины. Для нахождения работы силы упругости можно взять среднее значение модуля силы (т.к. сила упругости линейно зависит от x ) и умножить на модуль перемещения:
\(~A = F_{upr-cp} \cdot (x_1 - x_2)\) , (13)
где \(~F_{upr-cp} = k \cdot \frac{x_1 - x_2}{2}\) . Отсюда
\(~A = k \cdot \frac{x_1 - x_2}{2} \cdot (x_1 - x_2) = k \cdot \frac{x^2_1 - x^2_2}{2}\) или \(~A = -\left(\frac{k \cdot x^2_2}{2} - \frac{k \cdot x^2_1}{2} \right)\) . (14)
Физическая величина, равная половине произведения жесткости тела на квадрат его деформации, называется потенциальной энергией упруго деформированного тела:
\(~E_p = \frac{k \cdot x^2}{2}\) . (15)
Из формул (14) и (15) следует, что работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии упруго деформированного тела, взятому с противоположным знаком:
\(~A = -(E_{p2} - E_{p1})\) . (16)
Если x 2 = 0 и x 1 = х , то, как видно из формул (14) и (15),
\(~E_p = A\) .
Физический смысл потенциальной энергии деформированного тела
потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе, которую совершает сила упругости при переходе тела в состояние, в котором деформация равна нулю.
Потенциальная энергия характеризует взаимодействующие тела, а кинетическая энергия – движущиеся тела. И потенциальная, и кинетическая энергия изменяются только в результате такого взаимодействия тел, при котором действующие на тела силы совершают работу, отличную от нуля. Рассмотрим вопрос об изменениях энергии при взаимодействиях тел, образующих замкнутую систему.
Замкнутая система – это система, на которую не действуют внешние силы или действие этих сил скомпенсировано . Если несколько тел взаимодействуют между собой только силами тяготения и силами упругости и никакие внешние силы на них не действуют, то при любых взаимодействиях тел работа сил упругости или сил тяготения равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным знаком:
\(~A = -(E_{p2} - E_{p1})\) . (17)
По теореме о кинетической энергии, работа тех же сил равна изменению кинетической энергии:
\(~A = E_{k2} - E_{k1}\) . (18)
Из сравнения равенств (17) и (18) видно, что изменение кинетической энергии тел в замкнутой системе равно по абсолютному значению изменению потенциальной энергии системы тел и противоположно ему по знаку:
\(~E_{k2} - E_{k1} = -(E_{p2} - E_{p1})\) или \(~E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}\) . (19)
Закон сохранения энергии в механических процессах :
сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и си-лами упругости, остается постоянной.
Сумма кинетической и потенциальной энергии тел называется полной механической энергией .
Приведем простейший опыт. Подбросим вверх стальной шарик. Сообщив начальную скорость υ нач, мы придадим ему кинетическую энергию, из-за чего он начнет подниматься вверх. Действие силы тяжести приводит к уменьшению скорости шарика, а значит, и его кинетической энергии. Но шарик поднимается выше и выше и приобретает все больше и больше потенциальной энергии (Е p = m∙g∙h ). Таким образом, кинетическая энергия не исчезает бесследно, а происходит ее превращение в потенциальную энергию.
В момент достижения верхней точки траектории (υ = 0) шарик полностью лишается кинетической энергии (Е k = 0), но при этом его потенциальная энергия становится максимальной. Дальше шарик меняет направление движения и с увеличивающейся скоростью движется вниз. Теперь происходит обратное превращение потенциальной энергии в кинетическую.
Закон сохранения энергии раскрывает физический смысл понятия работы :
работа сил тяготения и сил упругости, с одной стороны, равна увеличению кинетической энергии, а с другой стороны, – уменьшению потенциальной энергии тел. Следовательно, работа равна энергии, превратившейся из одного вида в другой.
Закон об изменении механической энергии
Если система взаимодействующих тел не замкнута, то ее механическая энергия не сохраняется. Изменение механической энергии такой системы равно работе внешних сил:
\(~A_{vn} = \Delta E = E - E_0\) . (20)
где Е и Е 0 – полные механические энергии системы в конечном и начальном состояниях соответственно.
Примером такой системы может служить система, в которой наряду с потенциальными силами действуют непотенциальные силы. К непотенциальным силам относятся силы трения. В большинстве случаев, когда угол между силой трения F r тела составляет π радиан, работа силы трения отрицательна и равна
\(~A_{tr} = -F_{tr} \cdot s_{12}\) ,
где s 12 – путь тела между точками 1 и 2.
Силы трения при движении системы уменьшают ее кинетическую энергию. В результате этого механическая энергия замкнутой неконсервативной системы всегда уменьшается, переходя в энергию немеханических форм движения.
Например, автомобиль, двигавшийся по горизонтальному участку дороги, после выключения двигателя проходит некоторый путь и под действием сил трения останавливается. Кинетическая энергия поступательного движения автомобиля стала равной нулю, а потенциальная энергия не увеличилась. Во время торможения автомобиля произошло нагревание тормозных колодок, шин автомобиля и асфальта. Следовательно, в результате действия сил трения кинетическая энергия автомобиля не исчезла, а превратилась во внутреннюю энергию теплового движения молекул.
Закон сохранения и превращения энергии
при любых физических взаимодействиях энергия превращается из одной формы в другую.
Иногда угол между силой трения F tr и элементарным перемещением Δr равен нулю и работа силы трения положительна:
\(~A_{tr} = F_{tr} \cdot s_{12}\) ,
Пример 1 . Пусть, внешняя сила F действует на брусок В , который может скользить по тележке D (рис. 5). Если тележка перемещается вправо, то работа силы трения скольжения F tr2 , действующей на тележку со стороны бруска, положительна:
Пример 2 . При качении колеса его сила трения качения направлена вдоль движения, так как точка соприкосновения колеса с горизонтальной поверхностью двигается в направлении, противоположном направлению движения колеса, и работа силы трения положительна (рис. 6):
Литература
- Кабардин О.Ф. Физика: Справ. материалы: Учеб. пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1991. – 367 с.
- Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: Учеб. для 9 кл. сред. шк. – М.: Про-свещение, 1992. – 191 с.
- Элементарный учебник физики: Учеб. пособие. В 3 т. / Под ред. Г.С. Ландсберга: т. 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. – М.: Физматлит, 2004. – 608 с.
- Яворский Б.М., Селезнев Ю.А. Справочное руководство по физике для поступающих в вузы и самообразования. – М.: Наука, 1983. – 383 с.
Энергия взаимодействия тел. Потенциальной энергией тело само по себе не может обладать. определяется силой, действующей на тело со стороны другого тела. Поскольку взаимодействующие тела равноправны, то потенциальной энергией обладают только взаимодействующие тела.
A = Fs = mg (h 1 - h 2 ).
Теперь рассмотрим движение тела по наклонной плоскости. При перемещении тела вниз по наклонной плоскости сила тяжести совершает работу
A = mgscosα .
Из рисунка видно, что s cosα = h , следовательно
А = mg h .
Выходит, что работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела.
Равенство A = mg (h 1 - h 2 ) можно записать в виде A = - (mg h 2 - mgh 1 ).
Т. е. работа силы тяжести при перемещении тела массой m из точки h 1 в точку h 2 по любой траектории равна изменению некоторой физической величины mgh с противоположным знаком.
Физическая величина , равная произведению массы тела на модуль ускорения свободного падения и на высоту, на которую поднято тело над поверхностью Земли, называется потенциальной энергией тела.
Потенциальную энергию обозначают через Е р . Е р = mgh , следовательно:
A = - (Е р 2 - Е р 1 ).
Тело может обладать как положительной, так и отрицательнойпотенциальной энергией. Тело массой m на глубине h от поверхности Земли обладает отрицательной потенциальной энергией: Е р = - mgh .
Рассмотрим потенциальную энергию упругодеформированного тела.
Прикрепим к пружине с жесткостью k брусок, растянем пружину и отпустим брусок. Под действием силы упругости растянутая пружина приведет в действие брусок и переместит его на некоторое расстояние. Вычислим работу силы упругости пружины от некоторого начального значения x 1 до конечного x 2 .
Сила упругости в процессе деформации пружины изменяется. Чтобы найти работу силы упругости можно взять произведение среднего значения модуля силы и модуля перемещения:
А = F у.ср (x 1 - x 2 ).
Так как сила упругости пропорциональна деформации пружины, то среднее значение ее модуля равно
Подставив это выражение в формулу работы силы, получим:
Физическую величину , равную половине произведения жесткости тела на квадрат его деформации, называют потенциальной энергией упругодеформированного тела:
Откуда следует, что A = - (Е р2 - Е р1 ).
Как и величина mgh , потенциальная энергия упругодеформированного тела зависит от координат, поскольку x 1 и x 2 - это удлинения пружины и в то же время - координаты конца пружины. Поэтому можно сказать, что потенциальная энергия во всех случаях зависит от координат.