Согласно азам физики, известно о наличии магнитного поля вокруг проводника или катушки с током. Данное поле в полной мере зависит от проводника, среды распространения поля и силы тока. Аналогично электрическому полю, магнитное поле является неким носителем энергии. Поскольку основным критерием, влияющим на энергию поля, является сила протекающего тока, то работа тока по созданию магнитного поля будет совпадать с энергией магнитного поля.
Энергия магнитного поля
Природу такого явления, как энергия магнитного поля, проще осознать, рассмотрев процессы, проходящие в цепи.
Элементы схемы:
- L – катушка индуктивности;
- Л – лампочка;
- ε – источник постоянного тока;
- К – ключ для замыкания и размыкания цепи.
При замкнутом ключе, согласно картинке (а), ток протекает от плюсовой клеммы источника тока по параллельным веткам через катушку индуктивности и лампочку. По катушке индуктивности протекает ток I0, а через лампочку протекает ток I1. В первый момент времени лампочка будет гореть более ярко, ввиду большого сопротивления катушки индуктивности. По мере уменьшения сопротивления катушки индуктивности и увеличения тока I0 лампочка будет гореть более тускло. Это объясняется тем, что в первый момент времени поступивший на катушку ток пропорционален току большой частоты, исходя из формулы индуктивного сопротивления катушки:
XL=2πfL, где:
- XL – индуктивное сопротивление катушки;
- f – частота тока;
- L – индуктивность катушки.
Индуктивное сопротивление катушки возрастает многократно. Катушка индуктивности в этот момент времени ведет себя как разрыв цепи. Со временем индуктивное сопротивление снижается до нуля. Поскольку активное сопротивление катушки индуктивности ничтожно мало, а сопротивление нихромовой нити лампочки велико, то практически весь ток цепи протекает через катушку.
После размыкания цепи ключом К, согласно картинке (б), лампочка не тухнет, а, наоборот, загорается более ярким светом и постепенно гаснет. Для осуществления горения лампочки необходима энергия. Энергия эта берется из магнитного поля катушки индуктивности и называется энергией магнитного поля. Благодаря этому катушка индуктивности выступает как источник энергии (самоиндукции), согласно картинке (в).
Определить активность магнитного поля возможно, рассмотрев электрическую схему.
Для расчета энергии магнитного поля есть необходимость в создании такой схемы, в которой энергия источника питания расходовалась бы непосредственно на образование магнитного поля. Соответственно, в схеме выше значениями внутреннего сопротивления источника питания и катушки индуктивности нужно пренебречь.
Обратите внимание! Из второго закона Кирхгофа следует, что сумма напряжений, подключенных к цепи, равна сумме падений напряжений на каждом из элементов цепи.
Общее напряжение цепи равно:
ε+εі=Ir+IR, где:
- ε – электродвижущая сила (напряжение) источника питания;
- εi – электродвижущая сила (напряжение) индукции;
- I – сила тока цепи;
- r – внутреннее сопротивление источника питания;
- R – внутреннее сопротивление катушки индуктивности.
Поскольку рассмотренная цепь идеальная, и внутренние сопротивления равны нулю, то формула преобразовывается в такую:
Электродвижущая сила самоиндукции зависит от индуктивности катушки и скорости изменения тока в цепи, а именно:
подставив значение в общую формулу, получается:
- ε-LΔI/Δt=0,
- ε= LΔI/Δt,
- ΔI= ε Δt /L.
Исходя из данной закономерности, с течением времени сила тока равняется:
Заряд, пройденный через катушку индуктивности, равен:
Объединив обе формулы, получаем:
Работа источника тока по переносу заряда по катушке индуктивности равняется:
A= εq=εLI2/2ε=LI2/2.
Поскольку рассматриваемая цепь является идеальной, а именно отсутствует какое-либо сопротивление, то затраченная работа источника тока пошла на формирование магнитного поля и соответствует энергии магнитного поля:
С целью исключения зависимости активности магнитного поля от характеристики катушки, необходимо преобразовать выражение через характеристику поля, а именно через вектор магнитной индукции:
- B=µ0µIn, где:
- B – вектор магнитной индукции соленоида;
- µ0 – магнитная постоянная (µ0=4π×10-7 Гн/м)
- µ – магнитная проницаемость вещества;
- I – сила тока в цепи соленоида;
- n – плотность намотки, (n=N/l, где N – число витков, l – отрезок длины соленоида).
- L=µ0µn2V, где:
V – объем катушки (или объем магнитного поля, сосредоточенного в катушке) (V=Sl, S – площадь поперечного сечения соленоида, l – длина соленоида).
Если воспользоваться формулами (1 и 2), выражение, определяющее энергию магнитного поля, выглядит как:
Wмаг=B2V/2µ0µ.
Рассмотренная формула справедлива при условии, что фон однотипный. Если поле неоднородное, то необходимо рассматривать параметр, характеризующий концентрацию активности в этой зоне. Эта величина именуется как объемная плотность энергии магнитного поля.
Объемная плотность магнитной энергии
Она определяется по выражению:
ωмаг=Wмаг/V, где:
- ωмаг – объемная плотность энергии магнитного поля;
- V – объем некой зоны, где создано магнитное поле.
Единицей измерения объемной плотности энергии магнитного поля является отношение – Дж/м3.
Подставив в искомое выражение значение энергии поля W маг, получаем окончательную формулировку, определяющую объемную плотность:
ωмаг= B2/2µ0µ.
Изложенная информация подробно раскрывает порядок нахождения такого параметра поля, как энергия магнитного поля. Поскольку указанная величина применима для однородного поля, то для проведения вычислений в неоднородном магнитном поле используется величина, определяющая концентрацию или плотность энергии поля.
Видео
Положим, что в некоторый момент времени напряжение на конденсаторе равно и. При увеличении напряжения на конденсаторе на du заряд на одной из пластин конденсатора увеличится на dQ, а на другой - на -dQ, dQ-C du, где С- емкость конденсатора.
Для переноса заряда dQ источник энергии должен совершить работу и dQ = C и du, которая затрачивается на создание электрического поля в конденсаторе.
Энергия, доставленная источником при заряде конденсатора от напряжения и = 0 до напряжения u = U и перешедшая в энергию электрического поля конденсатора, равна
Рассмотрим вопрос об объемной плотности энергии электрического поля. Для этого возьмем плоский конденсатор и положим, что расстояние между пластинами его равно х, а площадь каждой пластины с одной стороны равна S. Диэлектрическая проницаемость среды между пластинами е а. Напряжение между пластинами U Пренебрежем искажающим влиянием краев конденсатора на поле между пластинами. При этом условии поле можно считать равномерным. Напряженность электрического поля по модулю: E = U/x. Вектор электрической индукции по модулю: ?> = е, E-QIS. Емкость плоского конденсатора С = е. Six. Для нахождения объемной плотности энергии электрического поля разделим энергию W = С?/ 2 /2*е а S(J 2 /(2x) на объем У = S х, «занятый» полем. Получим У,1У = г ш Е 2 12 = Е 0/2.
Таким образом, объемная плотность энергии электрического поля равна е а Е 2 12. Если поле неравномерно, то напряженность будет изменяться при переходе от одной точки поля к соседней, но объемная плотность энергии поля будет по-прежнему равна е, Е 2 12, так как в пределах бесконечно малого объема поле можно считать равномерным
Выделим в поле элементарный объем dV. Энергия в этом объеме равна (е а E l l2)dV. Энергия, заключенная в объеме У любых размеров, равна |е а E 2 l2dV. В электрическом
поле между заряженными телами действуют механические силы и их можно выразить в виде производной от энергии поля по изменяющейся координате На рис. 19.24, б изображен плоский конденсатор, который присоединен к источнику напряжения U. В соответствии с предыдущим расстояние между пластинами назовем х, а площадь пластины - S. Под действием этих сил пластины конденсатора стремятся сблизиться. Сила, действующая на нижнюю пластину, направлена вверх, на верхнюю пластину - вниз.
Положим, что под действием силы F нижняя пластина медленно (теоретически бесконечно медленно) переместилась вверх на расстояние dx и приняла положение, показанное пунктиром на рис. 19.24, б. Составим уравнение для баланса энергии при таком перемещении пластин. На основании закона сохранения энергии доставленная источником питания энергия dW H должна равняться сумме трех слагаемых: 1) работе силы F на расстоянии dx, 2) изменению энергии электрического поля конденсатора dW, 3) тепловым потерям от тока i t который протекает по проводам сопротивлением R в течение времени от 0 до «:
В общем случае при перемещении пластины могут измениться и напряжение между пластинами U, и заряд Q.
Рассмотрим теперь два характерных частных случая перемещения пластины конденсатора. В первом конденсатор отсоединен от источника напряжения и перемещение пластины происходит при неизменных зарядах на пластинах. Во втором перемещение пластины происходит при неизменном напряжении U между пластинами (конденсатор присоединен к источнику неизменного напряжения U).
Первый случай. Так как конденсатор отсоединен от источника энергии, то последний энергии не доставляет и потому dW^ - 0. При этом F ^-dW^ldx.
Таким образом, сила, действующая на пластину, равна взятой с обратным знаком производной от энергии электрического поля конденсатора по изменяющейся координате. Знак минус свидетельствует о том, что в рассматриваемом случае работа силы производится за счет убыли энергии в электрическом поле конденсатора.
Если учесть, что энергия электрического поля конденсатора W^=Q 2 !{2С) = = Q 2 х/(2 с а 5), то модуль силы F равен dW y Idx = Q 1 /(2 e t 5) = e, E 2 S/2.
Второй случай. Энергия, доставляемая источником питания при U - const на приращение заряда равна dV H =U dQ = U 2 dC. где dC - приращение емкости, вызванное уменьшением расстояния между пластинами на dx.
Изменение энергии электрического поля конденсатора dW,=d{CU 2 /2) = (/ 2 dCI2. Разность dW H -dW =U 2 dC-U 1 dC!2-dW ,. Поэтому во втором случае
Таким образом, и во втором случае сила равна производной от энергии электрического поля по изменяющейся координате.
Емкость C=e t 5/jr, поэтому
Сила, действующая на пластину конденсатора во втором случае, равна силе, действующей на пластину конденсатора в первом случае. На единицу поверхности конденсатора действует сила F!S-z b Е 2 12. Обратим внимание на то, что величина Е 2 12 не только выражает собой плотность энергии электрического поля, но и численно равна силе, действующей на единицу поверхности пластины конденсатора. Действующие на пластины конденсатора силы можно рассматривать как результат проявления сил продольного сжатия (вдоль силовых трубок) и сил бокового распора (поперек силовых трубок). Силы продольного сжатия стремятся укоротить силовую трубку, а силы бокового распора - расширить ее. На единицу боковой поверхности силовой трубки действует сила, численно равная е ш Е 2 12. Эти силы проявляются не только в виде сил, действующих на пластины конденсатора, но также в виде сил на границе раздела двух диэлектриков. В этом случае на границе раздела действует сила, направленная в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью.
Электрическое поле - одна из двух компонент электромагнитного поля, представляющее собой векторное поле, существующее вокруг тел или частиц, обладающих электрическим зарядом, а также возникающее при изменении магнитного поля (например, в электромагнитных волнах). Электрическое поле непосредственно невидимо, но может быть обнаружено благодаря его силовому воздействию на заряженные тела.
Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика - напряжённость электрического поля - векторная физическая величина, равная отношению силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещённый в данную точку пространства, к величине этого заряда. Направление вектора напряженности совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.
В классической физике, применимой при рассмотрении крупномасштабных (больше размера атома) взаимодействий, электрическое поле рассматривается как одна из составляющих единого электромагнитного поля и проявление электромагнитного взаимодействия. В квантовой электродинамике - это компонент электрослабого взаимодействия.
В классической физике система уравнений Максвелла описывает взаимодействие электрического поля, магнитного поля и воздействие зарядов на эту систему полей.
Основным действием электрического поля является силовое воздействие на неподвижные относительно наблюдателя электрически заряженные тела или частицы. На движущиеся заряды
силовое воздействие оказывает и магнитное поле (вторая составляющая силы Лоренца).
Энергия электрического поля. Электрическое поле обладает энергией. Плотность этой энергии определяется величиной поля и может быть найдена по формуле
где E - напряжённость электрического поля, D - индукция электрического поля.
Для электрического и магнитного полей их энергия пропорциональна квадрату напряжённости поля. Строго говоря, термин «энергия электромагнитного поля» является не вполне корректным. Вычисление полной энергии электрического поля даже одного электрона приводит к значению, равному бесконечности, поскольку соответствующий интеграл (см. ниже) расходится. Бесконечная энергия поля вполне конечного электрона составляет одну из теоретических проблем классической электродинамики. Вместо него в физике обычно используют понятие плотности энергии электромагнитного поля (в определённой точке пространства). Общая энергия поля равняется интегралу плотности энергии по всему пространству.
Плотность энергии электромагнитного поля является суммой плотностей энергий электрического и магнитного полей. В системе СИ.
В случае действительных величин объёмная плотность энергии электромагнитного поля определяется выражением:
Если рассматривать векторы и как векторы с комплексными составляющими, то для получения действительного выражения для объёмной плотности энергии электромагнитного поля необходимо воспользоваться описанным выше приёмом:
Выражение (8) определяет «мгновенное» значение объёмной плотности электромагнитной энергии в рассматриваемой точке пространства, т.е. значение в некоторый момент времени t . Зависимость (8) представляет собой практически сумму квадратов действительных величин и поэтому является положительно определенной зависимостью. Её численные значения могут изменяться от нуля до некоторой максимальной величины. Представляет интерес вычисление средней по времени величины объёмной плотности энергии электромагнитного поля плоской волны. Средняя по времени физическая величина определяется по правилу:
. (9)
Для гармонических во времени процессов величину выбирают равной периоду колебаний , а начало отсчёта выбирают равным нулю.
Легко видеть, что имеют место соотношения:
;
; (10)
.
Аналогичные результаты справедливы и для векторов напряжённости магнитного поля.
С учётом полученных результатов средняя по времени величина объёмной плотности энергии электромагнитного поля в рассматриваемой точке пространства может быть описана зависимостью
Выражение (11) является локальным, действительным и положительно определённым. С его помощью можно вычислить энергию электромагнитного поля в некоторой области пространства:
, (12)
где энергия электрического поля и энергия магнитного поля определены соотношениями
, 
. (13)
Интегрирование в соотношениях (13) проводится по объёму рассматриваемой области пространства. Эти выражения ниже будут использованы при анализе балансовых энергетических соотношений.
Вектор Умова-Пойнтинга .
Плотность потока энергии электромагнитного поля, как известно, определяется выражением
При необходимости использовать результаты метода комплексных амплитуд действительное (вещественное) выражение для вектора записывают в виде:
Оценивая векторные произведения в соотношении (15), получаем:
;
.
.
В результате осреднения по времени зависимости (15) для мгновенного значения вектора плотности потока энергии приходим к соотношению:
. (16)
Таким образом, получают постоянную во времени векторную величину с вещественными компонентами. Интересно, что – формально - полученное выражение является действительной частью комплексного выражения
Это порождает возможность ввести в рассмотрение «комплексный вектор Умова-Пойнтинга»:
. (18)
Обоснованием целесообразности такого приёма служит соотношение:
Физическое содержание соотношения (19) заключается в том, что среднее по времени от вектора плотности потока энергии электромагнитного поля в гармоническом приближении (вещественная постоянная векторная величина!) может быть вычислено как действительная часть комплексного вектора Умова-Пойнтинга.
Объёмная плотность мощности .
Для действительных величин объёмная плотность мощности вычисляется по выражению
Выражение (20) – произведение двух гармонических величин - является нелинейным, поэтому для получения действительной величины в методе комплексных амплитуд требуется исходить из соотношения:
Зависимость (21) определяет действительное (вещественное) значение объёмной плотности мощности в произвольный момент времени. Поскольку рассматриваемая величина осциллирует во времени, можно ввести осреднённую по времени величину объёмной плотности мощности аналогично тому, как это было сделано выше при рассмотрении объёмной плотности энергии:
Анализ выражения (22) показывает, что можно ввести комплексную плотность мощности
поскольку легко проверяется соотношение
. (24)
Теперь можно приступить к рассмотрению балансовых энергетических соотношений в неоднородной плоской электромагнитной гармонической волне.
Комплексный аналог теоремы Пойнтинга .
Уравнения Максвелла – уравнение электромагнитной индукции и уравнение полного тока в дифференциальной форме – запишем с использованием гармонического приближения:
Заметим, что уравнения (25)-(26) справедливы, если форма зависимости гармонических величин от времени определена соотношениями (6).
Если , то имеет место 
, поскольку из первого уравнения следует и . Другими словами говоря, если справедливо линейное уравнение для комплексной величины, то справедливо и комплексно сопряжённое уравнение. Воспользуемся этим математическим утверждением и запишем уравнение (26) в комплексно сопряжённой форме:
Умножим уравнение (25) скалярно на вектор , а уравнение (27) – на вектор :
Вычтем из уравнения (28) уравнение (29):
Левая часть уравнения (30) может быть преобразована:
В принципе, здесь использовано известное векторное тождество, его можно проверить непосредственным вычислением в декартовой системе координат, а можно воспользоваться символическим методом и определением дифференциального векторного оператора «набла» (или оператора Гамильтона) . Продемонстрируем этот метод. Рассмотрим дивергенцию векторного произведения двух векторных полей:
.
Для того чтобы можно было пользоваться обозначением как просто векторной величиной, перепишем предыдущее соотношение с учётом дифференциального характера оператора набла:
где индексом «с» помечены условно постоянные величины, их можно «выносить» за символ дифференциального оператора . Теперь полученное выражение можно рассматривать просто как сумму двух смешанных произведений трёх векторов. Известно, что смешанное произведение трёх векторов может быть записано в нескольких эквивалентных формах. Нам необходимо выбрать такую форму, чтобы «вектор » не оставался в крайней правой позиции: как дифференциальный оператор он должен на что-нибудь действовать.