मोबियस पट्टी हा एक आश्चर्यकारक शोध आहे. मोबियस पट्टीचे रहस्य टप्प्याटप्प्याने कागदापासून मोबियस पट्टी कशी बनवायची

मोबियस पट्टी (मोबियस लूप, मोबियस पट्टी)- एक साधी दिसणारी आकृती, परंतु एक गणितज्ञ म्हणेल की ही आश्चर्यकारक गुणधर्म असलेली द्विमितीय पृष्ठभाग आहे: त्याला फक्त एक बाजू आणि एक किनार आहे, नेहमीच्या रिंगच्या विपरीत, जी मोबियस पट्टीच्या समान पट्टीतून दुमडली जाऊ शकते. , परंतु त्यास दोन बाजू आणि दोन कडा असतील. तुम्ही सुरुवातीच्या बिंदूकडे परत येईपर्यंत कागदावरून पेन्सिल न उचलता टेपच्या मध्यभागी एक रेषा काढली तर हे पाहणे सोपे आहे. आश्चर्याची गोष्ट, परंतु सत्य: पट्टीच्या अर्ध्या वळणामुळे, त्याच्या वरच्या आणि खालच्या कडा एका सततच्या ओळीत विलीन झाल्या आणि दोन बाजू एकाच संपूर्ण मध्ये बदलल्या आणि एक बाजू बनल्या. आणि हा निकाल आहे: आपण मोबियस पट्टीच्या एका बिंदूपासून काठावर न जाता इतर कोणत्याही बिंदूवर जाऊ शकता.

मोबियस पट्टीवर चालत आहे

बाहेरील निरीक्षकांसाठी, मोबियस पट्टीच्या बाजूने प्रवास करणे हे आश्चर्याने भरलेले "वर्तुळात धावणे" आहे. डच ग्राफिक कलाकार मॉरिट्स एशर (1898-1972) द्वारे त्याचे स्पष्टपणे चित्रण केले गेले. "मोबियस स्ट्रिप II" पेंटिंगमध्ये मुंग्या धावणाऱ्या लोकांची भूमिका बजावतात. त्यांच्या हालचालींचे अनुसरण करून, एक मनोरंजक शोध लावला जाऊ शकतो. टेपच्या बाजूने एक क्रांती पूर्ण केल्यावर, प्रत्येक मुंगी प्रारंभिक बिंदूवर असेल, परंतु आधीच अँटीपोडच्या स्थितीत असेल - दृश्यमानपणे ती टेपच्या "दुसऱ्या बाजूला" उलटी असेल. मोबियस पट्टीच्या बाजूने फिरणाऱ्या द्विमितीय प्राण्याचे काय होते? पृष्ठभाग बायपास केल्याने, ते त्याच्या मिरर प्रतिमेत बदलेल (टेप पारदर्शक मानल्यास याची कल्पना करणे सोपे आहे). स्वत: बनण्यासाठी, द्विमितीय प्राण्याला दुसरे वर्तुळ बनवावे लागेल. त्यामुळे मुंगीला त्याच्या सुरुवातीच्या स्थितीत परत येण्यासाठी मोबियस पट्टीच्या बाजूने दोनदा चालावे लागते.

वैज्ञानिक कुतूहल किंवा उपयुक्त शोध

मोबियस पट्टीला अनेकदा गणितीय कुतूहल म्हणतात. आणि त्याचे स्वरूप संधीला दिले जाते. पौराणिक कथेनुसार, एक जर्मन शास्त्रज्ञ रिबन घेऊन आला जेव्हा त्याने मोलकरणीवर चुकीच्या पद्धतीने बांधलेला मान पाहिला. तो एक प्रसिद्ध गणितज्ञ आणि खगोलशास्त्रज्ञ होता, कार्ल फ्रेडरिक गॉसचा विद्यार्थी होता. त्यांनी 1858 च्या सुरुवातीस एकाच काठासह एकतर्फी पृष्ठभागाचे वर्णन केले, परंतु लेख त्यांच्या हयातीत प्रकाशित झाला नाही. त्याच वर्षी, मोबियसपासून स्वतंत्रपणे, गॉसचा आणखी एक विद्यार्थी जोहान लिस्टिंगने असाच शोध लावला.

तरीही टेपला मोबियसचे नाव देण्यात आले. हे टोपोलॉजीच्या पहिल्या वस्तूंपैकी एक बनले - एक विज्ञान जे आकृत्यांच्या सर्वात सामान्य गुणधर्मांचा अभ्यास करते, ते म्हणजे जे सतत (कट आणि ग्लूइंगशिवाय) परिवर्तनांमध्ये जतन केले जातात: स्ट्रेचिंग, पिळणे, वाकणे, वळणे इ. ही परिवर्तने विकृतींसारखी असतात. रबरापासून बनवलेल्या आकृत्यांचे, म्हणून, टोपोलॉजीला अन्यथा "रबर भूमिती" असे म्हणतात. लिओनार्ड यूलरने 18 व्या शतकाच्या सुरुवातीस काही टोपोलॉजिकल समस्यांचे निराकरण केले. गणिताच्या नवीन क्षेत्राची सुरुवात लिस्टिंगच्या "टोपोलॉजीमधील प्राथमिक तपासणी" (1847) - या विज्ञानावरील पहिले पद्धतशीर कार्य द्वारे केली गेली. त्याने "टोपोलॉजी" (ग्रीक शब्दांतून) या शब्दाचाही शोध लावला τόπος - ठिकाण आणि λόγος - शिक्षण).

मोबियस पट्टी एक वैज्ञानिक कुतूहल मानली जाऊ शकते, गणितज्ञांची आणखी एक विचित्रता, जर त्याला व्यावहारिक उपयोग सापडला नाही आणि कलेच्या लोकांना प्रेरित केले नाही. तिला कलाकारांनी एकापेक्षा जास्त वेळा चित्रित केले आहे, शिल्पकारांनी तिच्यासाठी स्मारके उभारली आहेत आणि लेखकांनी त्यांची निर्मिती समर्पित केली आहे. या असामान्य पृष्ठभागाने वास्तुविशारद, डिझाइनर, ज्वेलर्स आणि अगदी कपडे आणि फर्निचरच्या निर्मात्यांचे लक्ष वेधून घेतले आहे. शोधक, डिझाइनर, अभियंते यांनी त्याकडे लक्ष वेधले (उदाहरणार्थ, 1920 च्या दशकात, मोबियस टेपच्या स्वरूपात ऑडिओ आणि फिल्म चित्रपट पेटंट केले गेले, ज्यामुळे रेकॉर्डिंगचा कालावधी दुप्पट करणे शक्य झाले). परंतु बहुतेकदा जादूगार या रिबनशी व्यवहार करतात: ते कापल्यावर दिसणार्‍या असामान्य गुणधर्मांद्वारे आकर्षित होतात, म्हणून जर तुम्ही मोबियसची पट्टी मध्य रेषेने कापली तर ती दोन भागांमध्ये विभागली जात नाही, जसे तुम्हाला अपेक्षित असेल. त्यातून तुम्हाला एक अरुंद आणि लांब दुहेरी बाजू असलेला टेप मिळेल, दोनदा फिरवलेला (रोलर कोस्टरच्या बांधकामाचा आकार समान आहे). पण "स्वयंपाकाची युक्ती": मोबियस पट्टीच्या स्वरूपात केक नेहमीपेक्षा चवदार वाटतील, कारण तुम्ही त्यावर दुप्पट मलई पसरवू शकता! याव्यतिरिक्त, "मोबियस पट्टीच्या शैलीमध्ये" बनविलेल्या इमारतींचे मनोरंजक वास्तुशिल्प डिझाइन आहेत. आतापर्यंत, ते केवळ कागदावरच अस्तित्वात आहेत, परंतु मला विश्वास आहे की ते नक्कीच लागू केले जातील.

"अस्पष्ट" स्थिती

त्याच्या गुणधर्मांनुसार, मोबियस पट्टी खरोखर लुकिंग ग्लासमधील वस्तूसारखी दिसते. आणि ती स्वतः, एक असममित आकृती असल्याने, तिच्याकडे मिरर दुहेरी आहे. उजव्या पायाच्या प्रिंटसह रिबनच्या बाजूने फिरायला जाऊ या आणि लवकरच आपल्याला आढळेल की डाव्या पायाची प्रिंट घरी परत येईल. मजेदार, नाही का? आणि "उजवे" फक्त "डावे" बनण्यास कधी व्यवस्थापित झाले? चला एक द्विमितीय घड्याळ टेपमध्ये "माउंट" करू आणि त्यासोबत संपूर्ण क्रांती करू. घड्याळाकडे पाहिल्यावर आपल्याला दिसेल की डायलवरील हात त्याच वेगाने फिरत आहेत, परंतु विरुद्ध दिशेने! आणि हालचालीच्या दोन दिशांपैकी कोणती दिशा योग्य आहे?

तुम्ही उत्तराचा विचार करत असताना, मी लक्षात घेतो की एक गणितज्ञ या "अस्पष्ट" परिस्थितीतूनही एक सुंदर मार्ग सुचवेल. हे आवश्यक आहे की, प्रथम, घड्याळ नेहमी समान वेळ दर्शवते, आणि दुसरे म्हणजे, डायलवरील हात अशा स्थितीत असतात जे आरशाच्या प्रतिमेमध्ये संरक्षित केले जातील, उदाहरणार्थ, ते अनुलंब उभे राहतात, एक तैनात कोन तयार करतात.

बरं, उत्तर तपासूया? खरं तर, मोबियस पट्टीवर फिरण्याची विशिष्ट दिशा स्थापित केली जाऊ शकत नाही. एक आणि समान हालचाल घड्याळाच्या दिशेने फिरणे आणि विरुद्ध दिशेने फिरणे अशा दोन्ही प्रकारे समजले जाऊ शकते. जेव्हा मोबियस पट्टीवर अनियंत्रितपणे निवडलेला बिंदू त्याच्याभोवती फिरतो, तेव्हा एक दिशा सतत दुसर्‍या दिशेने रूपांतरित होते. या प्रकरणात, "उजवे" सूक्ष्मपणे "डावीकडे" बदलले आहे. द्विमितीय प्राणी स्वतःमध्ये कोणतेही बदल लक्षात घेणार नाही. परंतु ते त्याच प्रकारच्या इतर प्राण्यांद्वारे आणि अर्थातच, आपण दुसर्‍या परिमाणातून काय घडत आहे याचे निरीक्षण करून पाहिले जाईल. हे किती अप्रत्याशित आहे, एकतर्फी मोबियस पृष्ठभाग.

एक पृष्ठभाग आणि त्यावर बसलेली मुंगी कल्पना करा. मुंगी पृष्ठभागाच्या उलट बाजूने - लाक्षणिकपणे, त्याच्या खालच्या बाजूला - काठावर न चढता रेंगाळू शकेल का? नक्कीच नाही!

ऑगस्ट फर्डिनांड मोबियस (१७९०-१८६८)

एकतर्फी पृष्ठभागाचे पहिले उदाहरण, ज्याच्या कोणत्याही ठिकाणी मुंगी काठावर न चढता क्रॉल करू शकते, मोबियसने १८५८ मध्ये दिले होते.

मोबियस पट्टी, ज्याला लूप, पृष्ठभाग किंवा शीट देखील म्हटले जाते, ही टोपोलॉजीसारख्या गणिती विषयातील अभ्यासाची एक वस्तू आहे, जी आकृत्यांच्या सामान्य गुणधर्मांचा अभ्यास करते जे वळणे, स्ट्रेचिंग, कम्प्रेशन, वाकणे, यांसारख्या सतत बदलांमध्ये जतन केले जातात. आणि इतर अखंडतेच्या उल्लंघनाशी संबंधित नाहीत ... अशा टेपचे एक आश्चर्यकारक आणि अद्वितीय वैशिष्ट्य म्हणजे त्याची फक्त एक बाजू आणि धार आहे आणि त्याचा अंतराळातील स्थानाशी काहीही संबंध नाही. मोबियस पट्टी ही टोपोलॉजिकल आहे, म्हणजे, सामान्य युक्लिडियन जागेत (3-आयामी) सीमा असलेली सर्वात सोपी एकतर्फी पृष्ठभाग असलेली एक सतत वस्तू, जिथे ती काठ ओलांडल्याशिवाय, अशा पृष्ठभागाच्या एका बिंदूपासून शक्य आहे. इतर कोणत्याही वर मिळवा.

ऑगस्ट फर्डिनांड मोबियस (1790-1868) - गणितज्ञ गॉसच्या "राजा" चे शिष्य. मोबियस मूलतः गॉस आणि इतर अनेकांसारखे खगोलशास्त्रज्ञ होते, ज्यांच्याकडे गणिताचा विकास झाला. त्या दिवसात, गणिताचा अभ्यास समर्थनास भेटला नाही, आणि खगोलशास्त्राने त्यांच्याबद्दल विचार न करण्यासाठी पुरेसे पैसे दिले आणि त्यांच्या स्वतःच्या प्रतिबिंबांसाठी वेळ सोडला. आणि मोबियस हा 19व्या शतकातील सर्वात मोठा भूमापक बनला.

वयाच्या 68 व्या वर्षी, मोबियस आश्चर्यकारक सौंदर्याचा शोध लावू शकला. हा एकतर्फी पृष्ठभागांचा शोध आहे, ज्यापैकी एक मोबियस पट्टी (किंवा टेप) आहे. मोबियस रिबन घेऊन आला जेव्हा त्याने मोलकरीण तिच्या गळ्यात चुकीचा रुमाल घातलेली पाहिली.
युक्लिडियन स्पेसमध्ये, खरं तर, मोबियस पट्टीचे दोन प्रकार आहेत, जे अर्ध्या वळणावर उलगडले जातात: एक घड्याळाच्या दिशेने उलगडलेला असतो, दुसरा घड्याळाच्या उलट दिशेने असतो.

मोबियस स्ट्रिपमध्ये खालील गुणधर्म आहेत जे संकुचित केल्यावर, बाजूने कापले किंवा क्रिझ केल्यावर बदलत नाहीत:

1. एका बाजूची उपस्थिती. A. मोबियसने त्याच्या "ऑन द व्हॉल्यूम ऑफ पॉलिहेड्रा" मध्ये त्याच्या नावावर असलेल्या भौमितिक पृष्ठभागाचे वर्णन केले आहे, ज्याची फक्त एक बाजू आहे. हे तपासणे अगदी सोपे आहे: आम्ही एक टेप किंवा मोबियस पट्टी घेतो आणि आतील बाजू एका रंगाने रंगवण्याचा प्रयत्न करतो आणि बाहेरील बाजू दुसऱ्या रंगाने. पेंटिंग कोठे आणि कोणत्या दिशेने सुरू झाले हे महत्त्वाचे नाही, संपूर्ण आकार समान रंगाने रंगविला जाईल.
2. या भौमितिक आकृतीचा कोणताही बिंदू मोबियस पृष्ठभागाच्या सीमा ओलांडल्याशिवाय त्याच्या इतर कोणत्याही बिंदूशी जोडला जाऊ शकतो या वस्तुस्थितीत सातत्य व्यक्त केले जाते.
3. कनेक्टिव्हिटी, किंवा द्वि-आयामी, म्हणजे टेपला लांबीच्या दिशेने कापताना, त्यातून अनेक भिन्न आकार बाहेर येणार नाहीत आणि ते अविभाज्य राहतील.

4. त्यात अभिमुखता सारख्या महत्त्वाच्या गुणधर्माचा अभाव आहे. याचा अर्थ असा की या आकृतीच्या बाजूने चालणारी व्यक्ती त्याच्या मार्गाच्या सुरूवातीस परत येईल, परंतु केवळ स्वतःच्या आरशात. अशाप्रकारे, अंतहीन मोबियस पट्टी अनंतकाळच्या प्रवासाकडे नेऊ शकते.
5. मोबियस पृष्ठभागावरील प्रदेशांची जास्तीत जास्त संभाव्य संख्या दर्शविणारी एक विशेष रंगीत संख्या, आपण तयार करू शकता जेणेकरून त्यापैकी कोणत्याहीची इतर सर्वांसह समान सीमा असेल. मोबियस पट्टीमध्ये रंगीत संख्या - 6 आहे, परंतु कागदाची अंगठी - 5 आहे.

आज, मोबियस पट्टी आणि त्याचे गुणधर्म विज्ञानात मोठ्या प्रमाणावर वापरले जातात, नवीन गृहीतके आणि सिद्धांत तयार करण्यासाठी, संशोधन आणि प्रयोग आयोजित करण्यासाठी, नवीन यंत्रणा आणि उपकरणे तयार करण्यासाठी आधार म्हणून काम करतात. तर, एक गृहितक आहे ज्यानुसार विश्व एक प्रचंड मोबियस लूप आहे. आईन्स्टाईनचा सापेक्षता सिद्धांत देखील अप्रत्यक्षपणे याची साक्ष देतो, त्यानुसार सरळ उडणारे जहाज देखील ज्या वेळेपासून ते सुरू झाले होते त्याच वेळी आणि अवकाश बिंदूवर परत येऊ शकते.

दुसरा सिद्धांत डीएनएला मोबियस पृष्ठभागाचा भाग म्हणून पाहतो, जे अनुवांशिक कोड वाचण्यात आणि उलगडण्यात अडचण स्पष्ट करते. इतर गोष्टींबरोबरच, अशी रचना जैविक मृत्यूचे तार्किक स्पष्टीकरण प्रदान करते - स्वतःवर एक सर्पिल बंद केल्याने ऑब्जेक्टचा आत्म-नाश होतो. भौतिकशास्त्रज्ञांच्या मते, अनेक ऑप्टिकल कायदे मोबियस पट्टीच्या गुणधर्मांवर आधारित आहेत. म्हणून, उदाहरणार्थ, मिरर प्रतिमा ही एक विशेष वेळ हस्तांतरण आहे आणि एखादी व्यक्ती त्याच्या समोर दुहेरी मिरर पाहते.

आपल्याला मोबियस पट्टीमध्ये स्वारस्य असल्यास, एक लहान सूचना आपल्याला त्याचे मॉडेल कसे बनवायचे ते सांगेल:
1. तिच्या मॉडेलच्या निर्मितीसाठी आपल्याला आवश्यक असेल: - साध्या कागदाची शीट;
- कात्री;
- शासक.
2. कागदाच्या शीटमधून एक पट्टी कापून टाका जेणेकरून त्याची रुंदी त्याच्या लांबीपेक्षा 5-6 पट कमी असेल.
3. परिणामी कागदाची पट्टी सपाट पृष्ठभागावर घातली जाते. आम्ही आमच्या हाताने एक टोक धरतो आणि दुसरे 180 * वळवतो जेणेकरून पट्टी फिरते आणि चुकीची बाजू समोरची बाजू बनते.
4. आकृतीमध्ये दाखवल्याप्रमाणे वळणाच्या पट्टीच्या टोकांना चिकटवा.

मोबियस पट्टी तयार आहे.
5. पेन किंवा मार्कर घ्या आणि टेपच्या मध्यभागी एक ट्रॅक काढणे सुरू करा. जर तुम्ही सर्वकाही योग्यरित्या केले असेल, तर तुम्ही त्याच बिंदूवर परत याल जिथून तुम्ही रेषा काढण्यास सुरुवात केली होती.

मोबियस पट्टी ही एकतर्फी वस्तू आहे याची व्हिज्युअल पुष्टी मिळविण्यासाठी, पेन्सिल किंवा पेनने तिची एक बाजू पेंट करण्याचा प्रयत्न करा. थोड्या वेळाने, तुम्हाला दिसेल की तुम्ही त्यावर पूर्णपणे पेंट केले आहे.

मोबियस शीटने शिल्पकला आणि ग्राफिक कलेसाठी प्रेरणा म्हणून काम केले आहे. एशर हा अशा कलाकारांपैकी एक होता ज्यांनी त्याच्यावर विशेष प्रेम केले आणि त्याचे अनेक लिथोग्राफ या गणितीय वस्तूला समर्पित केले. एक प्रसिद्ध - "मोबियस लीफ II", मोबियस पट्टीच्या पृष्ठभागावर मुंग्या रेंगाळत असल्याचे दर्शविते.

मोबियस पान हे "लायब्ररी" क्वांट" मालिकेच्या लोकप्रिय विज्ञान पुस्तकांच्या मालिकेचे प्रतीक आहे. आर्थर क्लार्कच्या "द वॉल ऑफ डार्कनेस" या लघुकथेसारख्या विज्ञानकथेतही ते नियमितपणे दिसते. काहीवेळा विज्ञान कल्पित कथा (सैद्धांतिक भौतिकशास्त्रज्ञांचे अनुसरण) सूचित करतात की आपले विश्व काही प्रकारचे सामान्यीकृत मोबियस पट्टी असू शकते. तसेच, मोबियस रिंगचा उल्लेख उरल लेखक व्लादिस्लाव क्रापिविनच्या कार्यात सतत केला जातो, सायकल "इन द डेप्थ्स ऑफ द ग्रेट क्रिस्टल" (उदाहरणार्थ, "अँकर पोलवर चौकी. कथा"). एजे ड्यूशच्या "मोबियस लीफ" कथेमध्ये, बोस्टन सबवे एक नवीन लाइन तयार करतो, ज्याचा मार्ग इतका गोंधळात टाकतो की तो मोबियस पट्टीमध्ये बदलतो, त्यानंतर त्या मार्गावर ट्रेन गायब होऊ लागतात. कथेवर आधारित, गुस्तावो मॉस्क्वेरा दिग्दर्शित "मोबियस" या विलक्षण चित्रपटाचे चित्रीकरण करण्यात आले. तसेच, मोबियस पट्टीची कल्पना एम. क्लिफ्टनच्या "ऑन द मोबियस पट्टी" या कथेत वापरली आहे.

ब्रायन लुम्ली यांच्या "द नेक्रोस्कोप" या कादंबरीचा नायक हॅरी कीफे यांनी मोबियस पट्टीचा वापर अवकाश आणि वेळेत जाण्याचा मार्ग म्हणून केला आहे.

आर. झेलाझनी यांच्या "डोअर्स इन द सॅन्ड" या काल्पनिक कादंबरीत मोबियस पट्टी महत्त्वाची भूमिका बजावते.

E. Naumov "हाफ-लाइफ" (1989) च्या पुस्तकात, एक मद्यपी बुद्धीवादी Möbius पट्टीवर येऊन देशभर प्रवास करतो.

आधुनिक रशियन लेखक अलेक्सी शेपलेव्ह यांच्या "इको" कादंबरीच्या अभ्यासक्रमाची तुलना मोबियस पट्टीशी केली जाते. भाष्यापासून पुस्तकापर्यंत: ""इको" हे मोबियस रिंगचे साहित्यिक साधर्म्य आहे: दोन कथानक - "मुले" आणि "मुली" - एकमेकांमध्ये गुंफतात, एकमेकांमध्ये वाहतात, परंतु एकमेकांना छेदत नाहीत."

2010 मध्ये प्रकाशित झालेल्या "रेडिओ मुराकामी" या संग्रह पुस्तकातील हारुकी मुराकामीच्या "पॉसेस ओब्लाडा" या निबंधात देखील मोबियस पट्टी आढळते, जिथे मोबियस पट्टीची लाक्षणिकरित्या अनंताशी तुलना केली जाते.

CHARON व्हिज्युअल कादंबरी "माकोटो मोबियस" मध्ये, नायक वाटारो एका वर्गमित्राला जादुई कलाकृती - मोबियस स्ट्रिप वापरून मृत्यूपासून वाचवण्याचा प्रयत्न करतो.

1987 मध्ये, सोव्हिएत जाझ पियानोवादक लिओनिद चिझिक यांनी "मोबियस टेप" हा अल्बम रेकॉर्ड केला, ज्यामध्ये त्याच नावाची रचना समाविष्ट होती.

"फुटुरामा" या अॅनिमेटेड मालिकेच्या एका भागातील (सीझन 7, भाग 14, 11 मिनिटे) रेसिंग ट्रॅक ही मोबियस पट्टी आहे.

मोबियस पट्टीचे तांत्रिक अनुप्रयोग आहेत. मोबियस बेल्ट कन्व्हेयर बेल्ट जास्त काळ टिकेल कारण संपूर्ण बेल्ट पृष्ठभाग समान रीतीने परिधान करतो. सतत टेप रेकॉर्डिंग सिस्टम देखील मोबियस टेप वापरतात (रेकॉर्डिंग वेळ दुप्पट करण्यासाठी). अनेक डॉट मॅट्रिक्स प्रिंटरमध्ये, शाईची रिबन मोबियस पट्टीच्या रूपात देखील त्याचे संसाधन वाढवते.

तसेच CEMI RAS संस्थेच्या प्रवेशद्वाराच्या वरती E. A. Zharenova आणि V. K. Vasiltsov (1976) या कलाकारांच्या सहकार्याने आर्किटेक्ट लिओनिड पावलोव्ह यांनी मोझॅकची उच्च रिलीफ "मोबियस पट्टी" आहे.

मोबियस स्ट्रिप कल्पना वापरून आर्किटेक्चरल उपाय:

मोबियस पट्टीचे दागिने:

मोबियस पट्टीचे तांत्रिक अनुप्रयोग आहेत. कन्व्हेयर बेल्टचा बेल्ट मोबियस बेल्टच्या स्वरूपात बनविला जातो, जो त्यास जास्त काळ काम करण्यास अनुमती देतो, कारण बेल्टची संपूर्ण पृष्ठभाग समान रीतीने झिजते. सतत टेप रेकॉर्डिंग सिस्टम देखील मोबियस टेप वापरतात (रेकॉर्डिंग वेळ दुप्पट करण्यासाठी). अनेक डॉट मॅट्रिक्स प्रिंटरमध्ये, शाईच्या रिबनला त्याचा स्त्रोत वाढवण्यासाठी मोबियस पट्टीचा देखावा देखील असतो.

मोबियस रेझिस्टर नावाचे उपकरण हे अलीकडेच शोधलेले इलेक्ट्रॉनिक घटक आहे ज्याचे स्वतःचे कोणतेही इंडक्टन्स नाही. मोबियस टेप्सचा वापर सतत टेप रेकॉर्डिंग सिस्टममध्ये (रेकॉर्डिंग वेळ दुप्पट करण्यासाठी) केला जातो, डॉट मॅट्रिक्स प्रिंटरमध्ये, शाईची रिबन देखील शेल्फ लाइफ वाढवण्यासाठी मोबियस शीट सारखी दिसते.

मोबियस पट्टी, ज्याला लूप, पृष्ठभाग किंवा शीट देखील म्हटले जाते, ही टोपोलॉजीसारख्या गणिती विषयातील अभ्यासाची एक वस्तू आहे, जी आकृत्यांच्या सामान्य गुणधर्मांचा अभ्यास करते जे वळणे, स्ट्रेचिंग, कम्प्रेशन, वाकणे, यांसारख्या सतत बदलांमध्ये जतन केले जातात. आणि इतर अखंडतेच्या उल्लंघनाशी संबंधित नाहीत ... अशा टेपचे एक आश्चर्यकारक आणि अद्वितीय वैशिष्ट्य म्हणजे त्याची फक्त एक बाजू आणि धार आहे आणि त्याचा अंतराळातील स्थानाशी काहीही संबंध नाही.

मोबियस पट्टी ही टोपोलॉजिकल आहे, म्हणजे, सामान्य युक्लिडियन जागेत (3-आयामी) सीमा असलेली सर्वात सोपी एकतर्फी पृष्ठभाग असलेली एक सतत वस्तू, जिथे ती काठ ओलांडल्याशिवाय, अशा पृष्ठभागाच्या एका बिंदूपासून शक्य आहे. इतर कोणत्याही वर मिळवा.

ते कोणी आणि केव्हा उघडले?

मोबियस पट्टीसारखी गुंतागुंतीची वस्तू एक असामान्य मार्गाने शोधली गेली. सर्व प्रथम, आम्ही लक्षात घेतो की दोन गणितज्ञांनी, संशोधनात एकमेकांशी पूर्णपणे असंबंधित, एकाच वेळी शोधले - 1858 मध्ये. आणखी एक मनोरंजक वस्तुस्थिती अशी आहे की हे दोन्ही शास्त्रज्ञ वेगवेगळ्या वेळी एकाच महान गणितज्ञ - जोहान कार्ल फ्रेडरिक गॉसचे विद्यार्थी होते. म्हणून, 1858 पर्यंत, असे मानले जात होते की कोणत्याही पृष्ठभागाला दोन बाजू असणे आवश्यक आहे. तथापि, जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग आणि ऑगस्ट फर्डिनांड मोबियस यांनी एक भौमितिक वस्तू शोधून काढली ज्याची फक्त एक बाजू होती आणि तिचे गुणधर्म वर्णन करतात. टेपला मोबियसचे नाव देण्यात आले होते, परंतु टोपोलॉजिस्ट लिस्टिंग आणि त्यांचे कार्य "टोपोलॉजीमधील प्राथमिक तपास" हे "रबर भूमिती" चे संस्थापक मानतात.

गुणधर्म

मोबियस स्ट्रिपमध्ये खालील गुणधर्म आहेत जे संकुचित केल्यावर, बाजूने कापले किंवा क्रिझ केल्यावर बदलत नाहीत:

1. एका बाजूची उपस्थिती. A. मोबियसने त्याच्या "ऑन द व्हॉल्यूम ऑफ पॉलिहेड्रा" मध्ये त्याच्या नावावर असलेल्या भौमितिक पृष्ठभागाचे वर्णन केले आहे, ज्याची फक्त एक बाजू आहे. हे तपासणे अगदी सोपे आहे: आम्ही एक टेप किंवा मोबियस पट्टी घेतो आणि आतील बाजू एका रंगाने रंगवण्याचा प्रयत्न करतो आणि बाहेरील बाजू दुसऱ्या रंगाने. पेंटिंग कोठे आणि कोणत्या दिशेने सुरू झाले हे महत्त्वाचे नाही, संपूर्ण आकार समान रंगाने रंगविला जाईल.

2. सातत्य या वस्तुस्थितीत व्यक्त केले जाते की या भौमितिक आकृतीचा कोणताही बिंदू मोबियस पृष्ठभागाच्या सीमा ओलांडल्याशिवाय त्याच्या इतर कोणत्याही बिंदूंशी जोडला जाऊ शकतो.

3. कनेक्टिव्हिटी, किंवा द्वि-आयामी, म्हणजे टेपला लांबीच्या दिशेने कापताना, त्यातून अनेक भिन्न आकार बाहेर येणार नाहीत आणि ते अविभाज्य राहतील.

4. त्यात अभिमुखता सारख्या महत्त्वाच्या गुणधर्माचा अभाव आहे. याचा अर्थ असा की या आकृतीच्या बाजूने चालणारी व्यक्ती त्याच्या मार्गाच्या सुरूवातीस परत येईल, परंतु केवळ स्वतःच्या आरशात. अशाप्रकारे, अंतहीन मोबियस पट्टी अनंतकाळच्या प्रवासाकडे नेऊ शकते.

5. मोबियस पृष्ठभागावरील प्रदेशांची जास्तीत जास्त संभाव्य संख्या दर्शविणारी एक विशेष रंगीत संख्या, आपण तयार करू शकता जेणेकरून त्यापैकी कोणत्याहीची इतर सर्वांसह समान सीमा असेल. मोबियस पट्टीमध्ये रंगीत संख्या - 6 आहे, परंतु कागदाची अंगठी - 5 आहे.

वैज्ञानिक उपयोग

आज, मोबियस पट्टी आणि त्याचे गुणधर्म विज्ञानात मोठ्या प्रमाणावर वापरले जातात, नवीन गृहीतके आणि सिद्धांत तयार करण्यासाठी, संशोधन आणि प्रयोग आयोजित करण्यासाठी, नवीन यंत्रणा आणि उपकरणे तयार करण्यासाठी आधार म्हणून काम करतात.

तर, एक गृहितक आहे ज्यानुसार विश्व एक प्रचंड मोबियस लूप आहे. आईन्स्टाईनचा सापेक्षता सिद्धांत देखील अप्रत्यक्षपणे याची साक्ष देतो, त्यानुसार सरळ उडणारे जहाज देखील ज्या वेळेपासून ते सुरू झाले होते त्याच वेळी आणि अवकाश बिंदूवर परत येऊ शकते.

दुसरा सिद्धांत डीएनएला मोबियस पृष्ठभागाचा भाग म्हणून पाहतो, जे अनुवांशिक कोड वाचण्यात आणि उलगडण्यात अडचण स्पष्ट करते. इतर गोष्टींबरोबरच, अशी रचना जैविक मृत्यूचे तार्किक स्पष्टीकरण प्रदान करते - स्वतःवर एक सर्पिल बंद केल्याने ऑब्जेक्टचा आत्म-नाश होतो.

भौतिकशास्त्रज्ञांच्या मते, अनेक ऑप्टिकल कायदे मोबियस पट्टीच्या गुणधर्मांवर आधारित आहेत. म्हणून, उदाहरणार्थ, मिरर प्रतिमा ही एक विशेष वेळ हस्तांतरण आहे आणि एखादी व्यक्ती त्याच्या समोर दुहेरी मिरर पाहते.

सराव मध्ये अंमलबजावणी

मोबियस पट्टीला बर्याच काळापासून विविध उद्योगांमध्ये अनुप्रयोग सापडला आहे. शतकाच्या सुरूवातीस महान शोधक निकोला टेस्ला यांनी मोबियस रेझिस्टरचा शोध लावला, ज्यामध्ये 1800 पर्यंत वळवलेल्या दोन प्रवाहकीय पृष्ठभागांचा समावेश होता, जो विद्युत चुंबकीय हस्तक्षेप न करता विद्युत प्रवाहाचा प्रवाह सहन करू शकतो.

मोबियस पट्टीच्या पृष्ठभागाच्या आणि त्याच्या गुणधर्मांच्या अभ्यासाच्या आधारावर, अनेक उपकरणे आणि उपकरणे तयार केली गेली आहेत. प्रिंटरमध्ये कन्व्हेयर बेल्ट आणि इंक रिबन, तीक्ष्ण साधने आणि स्वयंचलित हस्तांतरणासाठी अपघर्षक बेल्ट तयार करण्यासाठी त्याचा आकार पुनरावृत्ती केला जातो. हे त्यांना त्यांच्या सेवा जीवनात लक्षणीय वाढ करण्यास अनुमती देते, कारण पोशाख अधिक समान रीतीने होतो.

फार पूर्वी नाही, मोबियस पट्टीच्या आश्चर्यकारक वैशिष्ट्यांमुळे एक स्प्रिंग तयार करणे शक्य झाले जे पारंपारिक लोकांसारखे नाही, उलट दिशेने चालते, गोळीबाराची दिशा बदलत नाही. हे स्टीयरिंग व्हील ड्राइव्हच्या स्टॅबिलायझरमध्ये वापरले जाते, ज्यामुळे स्टीयरिंग व्हील त्याच्या मूळ स्थितीत परत येते.

याव्यतिरिक्त, मोबियस पट्टीचे चिन्ह विविध ब्रँड आणि लोगोमध्ये वापरले जाते. यातील सर्वात प्रसिद्ध म्हणजे पुनर्वापराचे आंतरराष्ट्रीय चिन्ह. हे एकतर त्यानंतरच्या प्रक्रियेसाठी योग्य असलेल्या वस्तूंच्या पॅकेजिंगवर चिकटवले जाते किंवा पुनर्नवीनीकरण केलेल्या संसाधनांपासून बनवले जाते.

सर्जनशील प्रेरणा स्रोत

मोबियस पट्टी आणि त्याचे गुणधर्म अनेक कलाकार, लेखक, शिल्पकार आणि चित्रपट निर्मात्यांच्या कामाचा आधार बनले. "मोबियस टेप II (लाल मुंग्या)", "रायडर्स" आणि "नॉट्स", टेप आणि त्याची वैशिष्ट्ये - मॉरिट्स कॉर्नेलिस एशर यासारख्या त्याच्या कामांमध्ये वापरलेले सर्वात प्रसिद्ध कलाकार.

मोबियस स्ट्रिप्स, किंवा कमीतकमी उर्जा पृष्ठभाग जसे की त्यांना देखील म्हटले जाते, हे ब्रेंट कॉलिन्स आणि मॅक्स बिल सारख्या गणिती चित्रकार आणि शिल्पकारांसाठी प्रेरणा स्त्रोत बनले आहेत. मोबियस पट्टीचे सर्वात प्रसिद्ध स्मारक वॉशिंग्टन इतिहास आणि तंत्रज्ञान संग्रहालयाच्या प्रवेशद्वारावर आहे.

रशियन कलाकार देखील या विषयापासून दूर राहिले नाहीत आणि त्यांनी स्वतःची कामे तयार केली. मॉस्को आणि येकातेरिनबर्ग येथे "मोबियस स्ट्रिप" शिल्प स्थापित केले आहेत.

साहित्य आणि टोपोलॉजी

मोबियस पृष्ठभागांच्या असामान्य गुणधर्मांनी अनेक लेखकांना विलक्षण आणि अतिवास्तववादी कार्ये तयार करण्यास प्रेरित केले आहे. आर. झेलाझनी यांच्या "डोअर्स इन द सॅन्ड" या कादंबरीत मोबियस लूप महत्त्वाची भूमिका बजावते आणि बी. लुम्ले यांच्या "नेक्रोस्कोप" या कादंबरीच्या नायकासाठी अवकाश आणि काळाद्वारे हालचालीचे साधन म्हणून काम करते.

आर्थर क्लार्कच्या “द वॉल ऑफ डार्कनेस”, एम. क्लिफ्टनच्या “ऑन द मोबियस स्ट्रिप” आणि ए.जे. ड्यूशच्या “मोबियस लीफ” या कथांमध्येही हे दिसते. नंतरच्यावर आधारित, "मोबियस" हा विलक्षण चित्रपट दिग्दर्शक गुस्तावो मॉस्केरा यांनी चित्रित केला होता.

आम्ही ते स्वतः करतो, आमच्या स्वत: च्या हातांनी!

आपल्याला मोबियस पट्टीमध्ये स्वारस्य असल्यास, एक लहान सूचना आपल्याला त्याचे मॉडेल कसे बनवायचे ते सांगेल:

1. तिचे मॉडेल बनवण्यासाठी तुम्हाला आवश्यक असेल:

साध्या कागदाची एक शीट;

कात्री;

शासक.

2. कागदाच्या शीटमधून एक पट्टी कापून टाका जेणेकरून त्याची रुंदी त्याच्या लांबीपेक्षा 5-6 पट कमी असेल.

3. परिणामी कागदाची पट्टी सपाट पृष्ठभागावर घातली जाते. आम्ही आमच्या हाताने एक टोक धरतो आणि दुसरे 1800 ने वळवतो जेणेकरून पट्टी फिरते आणि चुकीची बाजू समोरची बाजू बनते.

4. आकृतीमध्ये दाखवल्याप्रमाणे वळणाच्या पट्टीच्या टोकांना चिकटवा.

मोबियस पट्टी तयार आहे.

5. पेन किंवा मार्कर घ्या आणि टेपच्या मध्यभागी एक ट्रॅक काढणे सुरू करा. जर तुम्ही सर्वकाही योग्यरित्या केले असेल, तर तुम्ही त्याच बिंदूवर परत याल जिथून तुम्ही रेषा काढण्यास सुरुवात केली होती.

मोबियस पट्टी ही एकतर्फी वस्तू आहे याची व्हिज्युअल पुष्टी मिळविण्यासाठी, पेन्सिल किंवा पेनने तिची एक बाजू पेंट करण्याचा प्रयत्न करा. थोड्या वेळाने, तुम्हाला दिसेल की तुम्ही त्यावर पूर्णपणे पेंट केले आहे.

स्रोत

तंत्रज्ञान - युवा 1984-09, पृष्ठ 65

मास्टर क्लास "मोबियस पट्टीचे आश्चर्य" - गणिताच्या शिक्षकाने विकसित केले MBOU "व्यायामशाळा №1" Ruzaevka Khanina M.F.

शुभ दुपार, प्रिय सहकारी! आज मी तुम्हाला एक आश्चर्यकारक वस्तू लक्षात ठेवू इच्छितो आणि सोप्या प्रयोगांच्या मदतीने तुम्ही कसे करू शकता ते पहामुलांना एकतर्फी पृष्ठभागाच्या संकल्पनेची ओळख करून द्याआणि त्याचे आश्चर्यकारक गुणधर्म,दैनंदिन जीवनात आणि कलेतही गणितीय वस्तू आणि नियम लागू होतात हे मनाला कळवण्यासाठी.

महान फ्रेंच भौतिकशास्त्रज्ञ आणि गणितज्ञ ब्लेझ पास्कल यांनीही असे म्हटले: "गणिताचा विषय इतका गंभीर आहे की संधी न गमावणे, थोडे मनोरंजक बनवणे उपयुक्त आहे."

प्लॉट. (स्लाइड 2)

व्ही ट्रेन क्रमांक 86 पार्क स्ट्रीट स्थानकावरून निघाली, परंतु पुढच्या स्थानकावर किंवा डेपोमध्ये दिसली नाही, ड्रायव्हर आणि सुमारे 350 प्रवाशांसह कोणताही मागमूस न घेता गायब झाली.

पासून बीजगणित प्राध्यापक रॉजर टुपेलो, वर्तमानपत्रात या घटनेबद्दल वाचून, शहराच्या भुयारी मार्गाचे मुख्य व्यवस्थापक कॅल्विन व्हाईट यांच्याकडे ट्रेन गायब होण्याच्या त्याच्या गृहीतकाची माहिती देण्यासाठी आला. तुपेलोच्या म्हणण्यानुसार, नवीन बॉयलस्टन लाइन उघडल्यानंतर, बोस्टन भुयारी मार्गाचे टोपोलॉजिकल गुणधर्म बदलले आणि ट्रेन आत आली. . त्याला वेडा समजुन, व्हाईटने तुपेलोला बाद केले.

तथापि, हे लवकरच व्हाईटला स्पष्ट होईल की ट्रेन खरोखरच कुठेतरी सबवेमध्ये आहे. अशा प्रकारे, मेट्रोच्या वेगवेगळ्या भागांमध्ये स्वयंचलित उपकरणांद्वारे ट्रेन क्रमांक 86 वेळोवेळी रेकॉर्ड केली जाते, ती वीज वापरते, परंतु तिचा आवाज ऐकू येत नसला तरी कोणीही ते पाहत नाही. ट्रेन परत येईल या आशेने नवीन लाईन बंद न करण्याचा निर्णय घेण्यात आला.

दोन महिने निघून जातात. एका सकाळी, युनिव्हर्सिटीला जाताना, तुपेलो भुयारी मार्गावर बसला आणि लक्षात आले की एक प्रवासी एक वर्तमानपत्र वाचत आहे जे ट्रेन गायब झाल्याच्या दिवसाचे आहे. तो गाडीतून धावतो, इतर प्रवाशांच्या वर्तमानपत्रांच्या तारखा तपासतो आणि काहींकडे दोन महिन्यांपूर्वीची वर्तमानपत्रेही असतात. तुपेलो सिग्नल कॉर्डवर ओढतो आणि ट्रेन थांबते. गणितज्ञ प्रवाशांना आणि ड्रायव्हरला दोन महिने उलटून गेल्याची घोषणा करतो आणि मागील स्टेशनवर गाडीत घुसलेल्या प्रवाशांच्या वर्तमानपत्रांची तारीख पाहून त्याचे शब्द तपासण्यास सांगतात. ट्युपेलो बोगद्यातून बाहेर पडतो आणि फोनकडे धावतो, जो मेट्रोच्या मुख्य कार्यालयाशी जोडला जातो. 86 वी ट्रेन अखेर सापडली आहे आणि सर्व प्रवासी जिवंत आणि सुखरूप असल्याचे त्यांनी कळवले आहे.

व्हाईटशी भेटल्यानंतर, रॉजर टुपेलोने त्याला बॉयलस्टन लाइन बंद करण्यास सांगितले, परंतु व्हाईटने उत्तर दिले: “खूप उशीर झाला. पंचवीस मिनिटांपूर्वी, एग्लेस्टन आणि डॉर्चेस्टर दरम्यान ट्रेन क्रमांक 143 गायब झाली.

आर्मिन ड्यूशच्या एका विज्ञान कल्पित कथेचे ते कथानक होते.मोबियस लीफ ".हे प्रथम रशियन भाषेत मासिकात प्रकाशित झाले होते " » 1969 मध्ये.बोस्टन सबवे एक नवीन लाइन तयार करत आहे, ज्याचा मार्ग इतका गोंधळात टाकणारा बनतो की तो मोबियस पट्टीमध्ये बदलतो, त्यानंतर ते या मार्गावर सुरू होतातगायब झालेल्या गाड्या.

मोबियस पट्टीच्या शोधाचा इतिहास. ( स्लाइड 3)

रहस्यमय आणि प्रसिद्ध मोबियस पट्टीचा शोध 1858 मध्ये जर्मन शास्त्रज्ञ ऑगस्ट फर्डिनांड मोबियस (1790-1868) याने लावला होता, जो गणितज्ञ गॉसच्या "राजा" चा विद्यार्थी होता.

मोबियस मूलतः गॉस आणि इतर अनेकांसारखे खगोलशास्त्रज्ञ होते, ज्यांच्याकडे गणिताचा विकास झाला. त्या दिवसात, गणिताचा अभ्यास समर्थनास भेटला नाही, आणि खगोलशास्त्राने त्यांच्याबद्दल विचार न करण्यासाठी पुरेसे पैसे दिले आणि त्यांच्या स्वतःच्या प्रतिबिंबांसाठी वेळ सोडला. आणि मोबियस हा 19व्या शतकातील सर्वात मोठा भूमापक बनला.

वयाच्या 68 व्या वर्षी, मोबियस आश्चर्यकारक सौंदर्याचा शोध लावू शकला. हा एकतर्फी पृष्ठभागांचा शोध आहे, ज्यापैकी एक मोबियस पट्टी (किंवा टेप) आहे. मोबियस रिबन घेऊन आला जेव्हा त्याने मोलकरीण तिच्या गळ्यात चुकीचा रुमाल घातलेली पाहिली.

मोबियस पट्टी कशी मिळवायची? (स्लाइड 4)

आयताकृती कागदाच्या पट्टीचे एक टोक अर्ध्या वळणावर फिरवा (180˚)(सोयीस्कर आकार: लांबी 30 सेमी, रुंदी 3 सेमी)आणि त्याच पट्टीच्या दुसऱ्या टोकाला चिकटवा. या मॉडेलला "मोबियस पट्टी" म्हणतात.

टोपोलॉजी ( स्लाइड 5)

जर्मन गणितज्ञ एएफ मोबियसने कागदाच्या आश्चर्यकारक एकतर्फी शीटचे अस्तित्व शोधून काढल्यापासून, टोपोलॉजी नावाची गणिताची संपूर्ण नवीन शाखा (दुसऱ्या शब्दात, "स्थितीची भूमिती" किंवा "रबर भूमिती") विकसित होऊ लागली. टोपोलॉजी आकृत्यांच्या आणि शरीराच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करते जे त्यांच्या सतत विकृती दरम्यान बदलत नाहीत.

मोबियस पट्टीचे आश्चर्यकारक गुणधर्म: त्याची एक धार, एक बाजू आहे, अंतर, कोन या संकल्पनांसह अंतराळातील स्थानाशी संबंधित नाही आणि तरीही पूर्णपणे भौमितिक वर्ण आहे.

मोबियस पट्टीचे काही प्रयोग करूया . ( स्लाइड 6)

अनुभव १.

तयार केलेली मोबियस पट्टी घ्या आणि चिकटलेल्या टेपला मध्यभागी, ठिपके असलेल्या रेषेने कापून टाका. तुम्हाला काय वाटते?

हे दोन रिंग नाही तर एक, दुप्पट अरुंद, परंतु दुप्पट लांब होते(तथाकथित "अफगाण टेप")... याव्यतिरिक्त, ते एकदा नव्हे तर दोनदा वळवले जाते.

अनुभव २.

जर आता ही टेप मध्यभागी कापली गेली तर, दोन टेप मिळतील, एकमेकांच्या वर जखमेच्या आहेत.

अनुभव ३.

प्रयोग क्रमांक 2 च्या परिणामांमधून, आम्ही प्रत्येक रिंग मध्यभागी कापतो. आम्हाला "फ्लॉवर" मिळते - दोन अर्ध-वळणांसह चार रिंग, सर्व एकमेकांशी जोडलेले आहेत.

अनुभव ४.

जर तुम्ही रिबन तीन अर्ध्या वळणाने कापला तर तुम्हाला एक रिबन ट्रेफॉइल गाठीमध्ये वळवले जाईल.

अतिरिक्त वळणांसह मोबियस पट्टीचा कट अनपेक्षित आकृत्या देतो ज्याला पॅराड्रोमिक रिंग म्हणतात.

अनुभव ५.

आणि आता असे मॉडेल बनवण्याचा प्रयत्न करूया: ABCD पट्टीमध्ये एक स्लिट कापून त्यामधून एक टोक पास करा. मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे अर्धा वळण, गोंद वळवणेआकृती. ए आता संपूर्ण टेपसह कट सुरू ठेवा.तु काय केलस?

परिणाम एक मोबियस पट्टी आहे.

अनुभव ६.

एकदा त्याच्या लांबीच्या बाजूने वाकलेली पट्टी घ्या. त्याला पूर्ण वळण लावा आणि टोकांना चिकटवा, एक टोक दुसऱ्याच्या वर "घर" सह ठेवा. आता आम्ही चिकटलेल्या टेपचा दुहेरी थर त्याच्या मधल्या ओळीत कापतो - आम्हाला जोड्यांमध्ये जोडलेल्या तीन रिंग मिळतात.

तुम्ही मोबियस पट्टीचे प्रयोग अविरतपणे सुरू ठेवू शकता आणि परिणाम भिन्न असतील, अर्ध्या आवर्तनांची संख्या सम किंवा विषम आहे की नाही यावर अवलंबून, मध्यभागी एक कट असेल किंवा 1/3, किंवा काठापासून ¼ इ. .

गणिताचे चिन्ह ( स्लाइड्स 7-8)

अर्थात, मोबियस पट्टीचे मुख्य मूल्य हे आहे की त्याने नवीन व्यापक गणितीय संशोधनाला चालना दिली. म्हणूनच हे बहुतेक वेळा आधुनिक गणिताचे प्रतीक मानले जाते आणि विविध चिन्हे आणि बॅजवर चित्रित केले जाते, उदाहरणार्थ, मॉस्को विद्यापीठाच्या यांत्रिकी आणि गणित विद्याशाखेच्या बॅजवर.

मोबियस पट्टी हे गणिताचे प्रतीक आहे,
सर्वोच्च बुद्धीचा मुकुट काय आहे ...
हे अचेतन प्रणयाने भरलेले आहे:
त्यात, अनंत एका अंगठीत गुंडाळले जाते.त्यात साधेपणा आहे, आणि त्यासोबत - जटिलता,
ऋषीमुनींनाही काय अगम्य आहे:

इथे आमच्या डोळ्यासमोर विमान बदलले आहे
सुरुवात किंवा शेवट न करता पृष्ठभागावर.मर्यादा नाहीत, मर्यादा नाहीत
पुढे प्रयत्न करा आणि जग शोधा
नवीन संवेदनांची शक्ती अनुभवा
सर्वोच्च दानाचे ज्ञान स्वीकारा.

साहित्यात मोबियस पट्टीचा वापर. ( स्लाइड 9)

परंतु केवळ गणितज्ञच नव्हते ज्यांनी मोबियस पट्टीला प्रेरणा दिली आणि पुढेही चालू ठेवली.

मोबियस शीटचा उल्लेख उरल लेखक व्लादिस्लाव क्रापिविनच्या कार्यात सतत केला जातो, "महान क्रिस्टलच्या खोलीत" सायकल.

मोबियस पानाचे रोमँटिक वर्णन ई. उस्पेन्स्की "लाल हात, काळी चादर, हिरवी बोटे" या कथेत आढळू शकते.आणि बरेच काहीकार्य करतेइयाला वाहिलेल्या अनेक कविता आहेत.

तंत्रज्ञानामध्ये मोबियस पट्टीचा वापर. ( स्लाइड १०)

विस्तारित सेवा आयुष्यासाठी मोबियस स्ट्रिप बेअरिंग. तसेच सतत टेप रेकॉर्डिंग सिस्टममध्ये, मोबियस टेप्स वापरल्या गेल्या (रेकॉर्डिंगची वेळ दुप्पट करण्यासाठी).

डॉट मॅट्रिक्स प्रिंटरमध्ये, शेल्फ लाइफ वाढवण्यासाठी रिबनचा आकार मोबियस पट्टीसारखा होता.

टेप रेकॉर्डरसाठी कॅसेट्सचा शोध लावला गेला, जिथे टेपला वळवले जाते आणि रिंगमध्ये चिकटवले जाते, तर एकाच वेळी दोन्ही बाजूंनी माहिती रेकॉर्ड करणे किंवा वाचणे शक्य होते, ज्यामुळे कॅसेटची क्षमता वाढते आणि त्यानुसार, खेळण्याची वेळ वाढते.

1969 मध्ये, सोव्हिएत शोधक गुबैदुलिन यांनी मोबियस शीटच्या रूपात अंतहीन सँडिंग बेल्ट प्रस्तावित केला.

कला मध्ये मोबियस पट्टी अर्ज. ( स्लाइड 11)

मोबियस शीटने शिल्पकला आणि ग्राफिक कलेसाठी प्रेरणा म्हणून काम केले आहे.

मॉरिट्स कॉर्नेलिस एशर हे अशा कलाकारांपैकी एक होते ज्यांनी त्याच्यावर विशेष प्रेम केले आणि त्याचे अनेक लिथोग्राफ या गणितीय वस्तूला समर्पित केले. "रायडर्स" (1946), "मोबियस स्ट्रिप II (लाल मुंग्या)" (1963) मध्ये आपण मोबियस पट्टी पाहू शकतो.

लिसा रे "शिप ऑफ फूल्स टू इन्फिनिटी".

आणखी एक मनोरंजक लिथोग्राफला "पिक्चर गॅलरी" म्हणतात, ज्यामध्ये टोपोलॉजी आणि जागेचे तर्क दोन्ही बदलले आहेत. आम्ही एक मुलगा समुद्रकिनारी असलेल्या एका दुकानासह समुद्रकिनारी असलेल्या शहराचे चित्रण करणारी पेंटिंग आणि स्टोअरमध्ये एक आर्ट गॅलरी पाहत असलेला आणि गॅलरीत एक मुलगा समुद्रकिनारी असलेल्या शहराचे चित्रण करणारी पेंटिंग पाहत असल्याचे पाहतो.

1967 मध्ये, जेव्हा ब्राझीलमध्ये गणिताची आंतरराष्ट्रीय काँग्रेस आयोजित करण्यात आली होती, तेव्हा त्याच्या आयोजकांनी पाच सेंटाव्होच्या मूल्यात एक स्मरणार्थ स्टॅम्प जारी केला होता. त्यात मोबियस पट्टी होती.

शिल्पकला आणि वास्तुकलामध्ये मोबियस पट्टीचा वापर. (स्लाइड १२)

कझाकस्तान मध्ये लायब्ररी प्रकल्प. संग्रहालयाचे वाकणे मोबियस पट्टी बनवतात, अशा प्रकारे आतील जागा बाहेरील भागात जाते आणि त्याउलट; त्याचप्रमाणे, भिंतींचे रूपांतर छतामध्ये होते आणि छताचे रूपांतर पुन्हा भिंतींमध्ये होते.

आधुनिक बौद्ध मंदिर.

तैवान पार्कसाठी इमारत.

चीनमधील पूल प्रकल्प.

मॉस्को, रीगा, मिन्स्क मधील शिल्पे.

दैनंदिन जीवनात मोबियस पट्टीचा वापर. ( स्लाइड १३)

मोबियस पट्टी दागिने निर्मात्यांना प्रेरणा देते. त्यांच्या कामांमध्ये आपल्याला मोबियस पट्टीच्या रूपात रिंग आणि पेंडेंट सापडतील.

फर्निचर निर्माते त्याच्याबद्दल उदासीन राहिले नाहीत. या दिशेने त्यांच्या कार्याचे एक उदाहरण म्हणजे चेस लाँग्यू, जी वाकलेली ब्रिटिश ओकपासून चिकटलेली मोबियस पट्टी आहे.

चपला बनवणारे देखील मोबियस पट्टीचे चाहते बनले आहेत.

डिझायनर्सनाही बाजूला राहायचे नव्हते. कलाकार आणि आर्किटेक्ट रॉन अराड हे परफ्यूम बाटलीच्या मोबियस स्ट्रिप डिझाइनचे निर्माता आहेत.

निष्कर्ष

मोबियस पट्टी जीवनात आणि विविध उद्योगांमध्ये वापरली जाते.

हे लेखक आणि कलाकार, वास्तुविशारद आणि शिल्पकारांना उत्तेजित करते, कोडी सोडवते आणि सर्जनशील स्वभावाच्या लोकांना प्रेरित करते.

मोबियस पानाचे गुणधर्म जाणून घेतल्यास, आपण उपयुक्त आणि आवश्यक गोष्टी बनवू शकता.

मोबियसचे पान सर्व लोकांना माहीत नसते, परंतु दैनंदिन जीवनात आपल्या सभोवतालच्या गोष्टींचा तो एक भाग आहे!

जवळजवळ प्रत्येकाला माहित आहे की अनंताचे प्रतीक कसे दिसते, उलट्या आठसारखे दिसते. या चिन्हाला "लेम्निस्कटा" असेही म्हणतात, ज्याचा अर्थ प्राचीन ग्रीक भाषेतील रिबन आहे. कल्पना करा की अनंत चिन्ह हे वास्तविक जीवनातील गणिती आकृतीसारखेच आहे. मोबियस पट्टीला भेटा!

मोबियस पट्टी म्हणजे काय?

मोबियस पट्टी(किंवा त्याला मोबियस लूप, मोबियस पट्टी आणि अगदी मोबियस रिंग देखील म्हणतात) गणितातील सर्वात प्रसिद्ध पृष्ठभागांपैकी एक आहे. मोबियस लूप म्हणजे एक पृष्ठभाग आणि एक किनार असलेली लूप.

काय धोक्यात आहे आणि हे कसे असू शकते हे समजून घेण्यासाठी, एक कागद घ्या, एक आयताकृती पट्टी कापून टाका आणि त्याचे टोक जोडण्याच्या क्षणी, त्यापैकी एक 180 अंश फिरवा आणि नंतर कनेक्ट करा. खालील चित्र मोबियस पट्टी कशी बनवायची हे शोधण्यात मदत करेल.

मोबियस पट्टीबद्दल इतके उल्लेखनीय काय आहे?

मोबियस पट्टी- सामान्य त्रिमितीय युक्लिडियन जागेत एक धार असलेल्या नॉन-ओरिएंटेबल एकतर्फी पृष्ठभागाचे उदाहरण. बहुतेक आयटम ओरिएंटेबल असतात आणि कागदाच्या तुकड्यासारख्या दोन बाजू असतात.

मग मोबियस पट्टी ही दिशाहीन, एकतर्फी पृष्ठभाग कशी असू शकते - तुम्ही म्हणता, कारण ज्या कागदापासून ते तयार केले जाते त्याला दोन बाजू असतात. आणि तुम्ही मार्कर घेऊन टेपची एक बाजू रंगाने भरण्याचा प्रयत्न कराल, शेवटी तुम्ही सुरुवातीच्या स्थितीत जाल आणि संपूर्ण टेप पूर्णपणे रंगला जाईल, जे पुष्टी करते की त्याची फक्त एक बाजू आहे.

मोबियस लूपला फक्त एकच धार आहे यावर विश्वास ठेवण्यासाठी - टेपच्या एका काठावर व्यत्यय न आणता आपले बोट सरकवा आणि आपण, रंगाच्या बाबतीत, आपण ज्या बिंदूपासून हलण्यास सुरुवात केली आहे त्या बिंदूकडे जाल. आश्चर्यकारक, नाही का?

तो मोबियस पट्टी आणि इतर अनेक मनोरंजक वस्तूंचा अभ्यास करत आहे - टोपोलॉजी, गणिताची एक शाखा जी एखाद्या वस्तूच्या सतत विकृती दरम्यान त्याच्या अपरिवर्तनीय गुणधर्मांचे परीक्षण करते - तणाव, संक्षेप, वाकणे, त्याची अखंडता न मोडता.

ऑगस्ट मोबियसचे उद्घाटन

या असामान्य टेपचा शोध लावणाऱ्याचे "वडील" जर्मन गणितज्ञ आहेत ऑगस्ट फर्डिनांड मोबियस, गॉसचा विद्यार्थी, ज्याने भूमितीवर एकापेक्षा जास्त काम लिहिले, परंतु 1858 मध्ये मुख्यतः एकतर्फी पृष्ठभागाच्या शोधासाठी प्रसिद्ध झाले.

हे आश्चर्यकारक आहे की त्याच 1858 मध्ये एका पृष्ठभागासह एक टेप गॉसच्या दुसर्या विद्यार्थ्याने शोधला होता - एक प्रतिभावान गणितज्ञ. जोहान सूची, ज्याने "टोपोलॉजी" हा शब्द तयार केला आणि गणिताच्या या शाखेवर मूलभूत कार्यांची मालिका लिहिली. तथापि, असामान्य टेपला अद्याप त्याचे नाव मोबियस नावाने मिळाले.

असा एक व्यापक विश्वास आहे की "अंतहीन लूप" मॉडेलचा प्रोटोटाइप हा प्रोफेसर ऑगस्ट मोबियसच्या नोकराने चुकीच्या पद्धतीने शिवलेला रिबन होता.

प्रत्यक्षात, टेप प्राचीन जगात फार पूर्वी शोधला गेला होता. पुष्टीकरणांपैकी एक म्हणजे अर्लेस शहरातील संग्रहालयात फ्रान्समध्ये स्थित त्याच वळणदार रिबनसह प्राचीन रोमन मोज़ेक. हे ऑर्फियसचे चित्रण करते, वीणेच्या आवाजाने मंत्रमुग्ध करणारे प्राणी. वळणदार रिबनसह एक अलंकार पार्श्वभूमीमध्ये वारंवार चित्रित केला जातो.

मोबियस पट्टीची "जादू".

1. मोबियस पट्टीच्या दोन बाजूंची स्पष्ट उपस्थिती असूनही, प्रत्यक्षात, फक्त एकच बाजू आहे आणि रिबनला दोन रंगांमध्ये रंगविण्यासाठी ते कार्य करणार नाही.
2. जर तुम्ही शीटवरून हात न उचलता, पेन किंवा पेन्सिलने लूपच्या संपूर्ण लांबीच्या बाजूने एक रेषा काढली, तर लीड अखेरीस ज्या बिंदूपासून रेषा काढण्यास सुरुवात केली तेथे थांबेल;
3. रिबन कापताना उल्लेखनीय अनुभव प्राप्त होतात, जे प्रौढ आणि विशेषतः मुलाला आश्चर्यचकित करण्यास सक्षम असतात.

• प्रथम, आम्ही आधी वर्णन केल्याप्रमाणे मोबियस पट्टीला चिकटवतो. मग आम्ही खाली दर्शविल्याप्रमाणे त्याच्या संपूर्ण लांबीसह अगदी मध्यभागी कट करतो:

परिणामामुळे तुम्ही आश्चर्यचकित व्हाल, कारण अपेक्षेच्या विरुद्ध, टेपचे दोन तुकडे किंवा अगदी दोन स्वतंत्र मंडळे तुमच्या हातात राहतील, परंतु आणखी एक, आणखी लांब टेप. ती यापुढे 180 अंशांनी फिरवलेली मोबियस पट्टी नसेल, तर 360 अंश फिरणारी टेप असेल.

• आता आम्ही आणखी एक प्रयोग करू - आम्ही आणखी एक मोबियस लूप बनवू, ज्यानंतर आम्ही टेपच्या रुंदीच्या 1/3 मोजू आणि या ओळीने कट करू. परिणाम तुम्हाला आणखी आश्चर्यचकित करेल - तुमच्या हातात वेगवेगळ्या आकाराचे दोन वेगळे रिबन सोडले जातील, एका साखळीप्रमाणे एकमेकांशी जोडलेले असतील: एक लहान रिबन आणि दुसरा दुसरा.

लहान मोबियस पट्टीमध्ये मूळ पट्टी रुंदीच्या 1/3, लांबी L, आणि 180 अंश रोटेशन असेल. दुसऱ्या लांबलचक टेपची रुंदीही सुरुवातीच्या 1/3 असेल, परंतु लांबी 2L असेल आणि 360 अंश रोटेशन असेल.

• तुम्ही प्रयोग पुढे चालू ठेवू शकता, परिणामी रिबन अगदी अरुंद मध्ये कापून, तुम्हाला परिणाम स्वतः दिसेल.

मोबियस लूप का आवश्यक आहे? अर्ज

मोबियस पट्टी अजिबात अमूर्त आकृती नाही, फक्त गणिताच्या उद्देशांसाठी आवश्यक आहे, वास्तविक दैनंदिन जीवनात त्याचा उपयोग झाला आहे. या बेल्टच्या तत्त्वावर, विमानतळावर एक बेल्ट कार्यरत असतो जो सामानाच्या डब्यातून सुटकेस हलवतो. हे डिझाइन एकसमान पोशाखांमुळे जास्त काळ टिकू देते. ऑगस्ट मोबियसचा शोध मशीन टूल उद्योगात मोठ्या प्रमाणावर वापरला जातो. डिझाईनचा वापर टेपवर जास्त काळ रेकॉर्डिंगसाठी केला जातो, तसेच प्रिंटरमध्ये जे प्रिंटिंगसाठी टेप वापरतात.

त्याच्या स्पष्टतेमुळे, मोबियस लूप आधुनिक शास्त्रज्ञांना अधिकाधिक शोध लावणे शक्य करते. लूपच्या आश्चर्यकारक गुणधर्मांचा शोध लागल्यापासून, नवीन पेटंट शोधांची लाट जगभरात पसरली आहे. उदाहरणार्थ, फेरोमॅग्नेटिक टेपने बनवलेल्या चुंबकीय कोरच्या गुणधर्मांमध्ये लक्षणीय सुधारणा, मोबियस पद्धतीनुसार जखमेच्या.

एन. टेस्लाला मोबियस लूप प्रकारानुसार जनरेटर कॉइल्सच्या वळणाचा वापर करून पॉलीफेस अल्टरनेटिंग करंट सिस्टमचे पेटंट मिळाले.

अमेरिकन शास्त्रज्ञ रिचर्ड डेव्हिस यांनी नॉन-रिअॅक्टिव्ह मोबियस रेझिस्टरची रचना केली - इलेक्ट्रोमॅग्नेटिक हस्तक्षेप न करता ओलसर प्रतिक्रिया (कॅपेसिटिव्ह आणि प्रेरक) प्रतिकार करण्यास सक्षम.

मोबियस पट्टी - प्रेरणासाठी विस्तृत क्षेत्र

मोबियस लूप उघडण्याच्या महत्त्वाचे मूल्यांकन करणे कठीण आहे, ज्याने केवळ मोठ्या संख्येने शास्त्रज्ञांनाच नव्हे तर लेखक आणि कलाकारांना देखील प्रेरणा दिली.

मोबियस पट्टीला समर्पित केलेले सर्वात प्रसिद्ध काम म्हणजे डच ग्राफिक कलाकार मॉरिट्स एशरचे मोबियस स्ट्रिप II, लाल मुंग्या किंवा लाल मुंग्या. चित्रात दोन्ही बाजूंनी मुंग्या मोबियस लूपवर चढताना दिसत आहेत, खरं तर, फक्त एक बाजू आहे. मुंग्या एकाच पृष्ठभागावर एकामागून एक अंतहीन लूपवर रेंगाळतात.

कलाकाराने गणितातील लेख आणि कामांमधून त्याच्या कल्पना काढल्या, त्याला भूमितीचे खूप आकर्षण होते. या संबंधात, त्याच्या लिथोग्राफ आणि कोरीव कामांवर विविध भौमितिक आकार, भग्न, आश्चर्यकारक ऑप्टिकल भ्रम असतात.

आत्तापर्यंत, मोबियस लूपमध्ये स्वारस्य खूप उच्च पातळीवर आहे, अगदी ऍथलीट्सने एरोबॅटिक्सच्या समानार्थी आकृतीची ओळख करून दिली आहे.

विज्ञान कथा लेखक आर्मिन ड्यूश यांच्या "मोबियस टेप" या कादंबरीवर आधारित एकापेक्षा जास्त चित्रपट तयार केले गेले आहेत. मोबियस लूपच्या रूपात दागिने, शूज, शिल्पे आणि इतर अनेक वस्तू आणि आकारांची एक प्रचंड विविधता तयार केली जाते.

मोबियस पट्टीने उत्पादन, रचना, कला, विज्ञान, साहित्य, वास्तुकला यावर छाप सोडली आहे.

डीएनए रेणू आणि मोबियस लूप यांच्या आकारातील समानतेबद्दल अनेक लोकांच्या मनात काळजी होती. सोव्हिएत सायटोलॉजिस्ट नवाशिन यांनी एक गृहितक मांडले होते की फॉर्म रिंग गुणसूत्ररचना मोबियस पट्टीसारखी आहे. शास्त्रज्ञांची ही कल्पना या वस्तुस्थितीमुळे प्रेरित झाली की कंकणाकृती गुणसूत्र, गुणाकार, अगदी सुरुवातीपेक्षा लांब रिंगमध्ये बदलते किंवा दोन लहान रिंगांमध्ये बदलते, परंतु एकमेकांमध्ये थ्रेड केलेल्या साखळीप्रमाणे, जे मोबियस पट्टीसह वर वर्णन केलेल्या प्रयोगांसारखे आहे.

2015 मध्ये, युरोप आणि युनायटेड स्टेट्समधील शास्त्रज्ञांचा एक गट वळण लावण्यास सक्षम होता मोबियस रिंग मध्ये प्रकाश... त्यांच्या वैज्ञानिक प्रयोगात, शास्त्रज्ञांनी ऑप्टिकल लेन्स आणि संरचित प्रकाश वापरला - त्याच्या हालचालीच्या प्रत्येक बिंदूवर पूर्वनिर्धारित तीव्रता आणि ध्रुवीकरणासह केंद्रित लेसर बीम. परिणामी, मोबियस पट्ट्या प्राप्त झाल्या.

आणखी एक महत्त्वाकांक्षी सिद्धांत आहे. विश्व हे एक प्रचंड मोबियस लूप आहे... आईन्स्टाईन या कल्पनेला चिकटून राहिले. त्याने सुचवले की विश्व बंद आहे, आणि एक स्पेसशिप, जे त्याच्या एका विशिष्ट बिंदूपासून सुरू होते आणि सर्व वेळ सरळ उडते, ती जागा आणि वेळेत त्याच बिंदूवर परत येईल ज्यापासून त्याची हालचाल सुरू झाली.

आतापर्यंत, हे फक्त गृहितक आहेत, ज्यांचे समर्थक आणि विरोधक दोन्ही आहेत. मोबियस पट्टीसारखी साधी वस्तू शास्त्रज्ञांना कोणता शोध लावेल हे कोणास ठाऊक आहे.

परत